1、1.2.3空间几何体的直观图目标 1.掌握斜二测画法的步骤；2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图；3.通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系重点 用斜二测画法画简单的平面图形与几何体的直观图难点 直观图、三视图、空间几何体的相互转换知识点一填一填1画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面2画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段3取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原
2、长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半答一答1斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45或135；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半2相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？提示：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等知识点二空间几何体直观图的画法填一填1画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴2画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面3取长度：已知图形
3、中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变4成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线答一答3画直观图时，如何区别实线和虚线？提示：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线看得见的部分要画成实线4空间几何体的直观图唯一吗？提示：不一定唯一作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同类型一画水平放置的平面图形的直观图例1如右图所示，梯形ABCD中，ABCD，AB4 cm，CD2 cm，DAB30，AD3 cm，试画出它的直观图分析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系只需确定四个顶
4、点A，B，C，D在直观图中的相应点即可解画法：步骤：(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x轴，y轴，使xOy45.(2)在图甲中，过D点作DEx轴，垂足为E.在x轴上取ABAB4 cm，AEAE2.598(cm)；过点E作EDy轴，使EDED0.75(cm)，再过点D作DCx轴，且使DCDC2 cm.(3)连接AD，BC，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形ABCD就是所求作的直观图在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上
5、，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E的对应点E，再去确定D的位置.变式训练1(1)斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M，则点M的坐标为(4,2)解析：(1)在坐标系xOy中，过点(4,0)和y轴平行的直线与过点(0,2)和x轴平行的直线的交点即是点M，即(4,2)(2)如图所示，ABC中BC8 cm，BC边上的高AD6 cm，试用斜二测画法画出其直观图解：在三角形ABC中建立如图所示的平面直角坐标系x
6、Oy，再建立如图所示的坐标系xOy，使xOy45.在坐标系xOy中，在x轴上截取OBOB，OCOC；在y轴上截取OA，使OAOA.连接AB，BC，CA，得到ABC，即为ABC的直观图(如图所示)类型二画空间几何体的直观图 例2如下图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图分析由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆台，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的上底面重合，我们可以先画出下部的圆台，再画出上部的圆锥解(1)画轴如图(1)，画 x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90.(2)画圆台的两底面利用斜二测画法，画出底面O，在z轴上截取OO，使OO等于三视图
7、中相应的高度，过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，利用Ox与Oy画出上底面O(与画O一样)(3)画圆锥的顶点在Oz上截取点P，使PO等于三视图中相应的高度(4)成图连接PA，PB，AA，BB，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图(2)(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确地确定顶点；(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出 变式训练2画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图解：画法：(1)画轴画Ox轴、Oy轴、Oz轴，xOy45(或135)
8、，xOz90，如图(1)(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形ABCD的直观图(3)画顶点在Oz轴上任取一点P.(4)成图顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2)类型三由直观图还原成原图例3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.求原四边形ABCD的面积解如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11；OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形
9、(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S25.由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 变式训练3已知一平面图形的直观图是底角等于45，上底和腰均为1的等腰梯形，求原图形的面积解：直观图与原图形如下图所示OA长为1.OAOA1，又OC2OC2，BCBC1，且AOC90.S梯形OABC(11)22.1利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(C)解析：选项A
10、是平面图，选项B中角度有误，选项D中的边长有误2如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(C)3如下图，BCx轴，ACy轴，则直观图所表示的平面图形是(D)A正三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形解析：因为BCx轴，ACy轴，所以平面图中也一定有两边与坐标轴平行，所以ABC的直观图是一个直角三角形4水平放置的ABC的直观图如图所示，已知AC3，BC2，则AB边上的中线的实际长度为2.5.解析：由于在直观图中ACB45，则在原图形中ACB90，AC3，BC4，AB5，AB边上的中线为2.5.5画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2
11、 cm)解：(1)如图所示，作水平放置的下底面等边三角形的直观图ABC，其中O为ABC的重心，BC2 cm，线段AO与x轴的夹角为45，AO2OD.(2)过O作z轴，使xOz90，在z轴上截取OO2 cm，作上底面等边三角形的直观图ABC，其中BC1 cm，连接AA，BB，CC，得正三棱台的直观图(如图所示)本课须掌握的两大问题1画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来2要画好对应平面图形的直
12、观图，首先应在原图形中建立平面直角坐标系，尽量利用原有线段或图形的对称轴画坐标轴，图形的对称中心作为坐标原点，让尽可能多的顶点在坐标轴上学习至此，请完成课时作业5学科素养培优精品微课堂关于直观图面积的一个结论开讲啦 若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为SS.由于其他多边形均可以划分为若干个三角形，故上述结论对其他多边形也成立典例证明：已知某三角形的面积为S，则其直观图的面积为SS.思路分析利用三角形的底边和高的关系，找出两个面积的关系精解详析如图(1)，在ABC中，ADBC，其面积SADBC，在其直观图(如图(2)中，作AMBC，则直观图的面积为SBCAMBCADsin45BCADS.
13、对应训练有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为5 cm2.解析：由于该矩形的面积为S5420(cm2)，所以由典例中的公式可得，其直观图的面积为SS5(cm2).1.3空间几何体的表面积与体积13.1柱体、锥体、台体的表面积与体积目标 1.会求柱体、锥体、台体的表面积与体积；2.知道圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，并会求它们的侧面积；3.通过柱体、锥体、台体的体积公式体会它们之间的关系重点 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积；求柱体、锥体、台体的表面积与体积难点 柱体、锥体、台体的侧面展开图及这三类几何体之间关系的理解知识点一多面体与旋转体的表面积填一填1柱体的表面积(1)棱柱的表面
14、积：S表S侧2S底其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧Ch；长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表2(abacbc)；棱长为a的正方体的表面积：S表6a2.(2)圆柱的表面积：底面半径为r，母线长为l的圆柱的侧面积：S侧2rl，表面积：S表2r(rl)2锥体的表面积(1)棱锥的表面积：S表S侧S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h的正棱锥的侧面积：S侧Ch.(2)圆锥的表面积：底面半径为r、母线长为l的圆锥的侧面积S侧rl，表面积：S表r(rl)3台体的表面积(1)棱台的表面积：S表S侧S上底S下底(2)圆台的表面积：两底面半径分别为r，r，母线长为l的圆台的
15、侧面积：S侧(rr)l，表面积：S表(r2r2rlrl)答一答1几何体的侧面积与表面积有何区别？提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积表面积等于侧面积与底面积之和，因此，侧面积仅是几何体表面积的一部分2圆锥的侧面展开图为一扇形，怎样根据扇形圆心角度数推导出母线l与底面半径r的关系？提示：圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长又是以l为半径圆周长的，于是有2l2r，即rl.知识点二柱体、锥体、台体的体积填一填1柱体的体积：V柱体Sh(S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高)2锥体的体积：V锥体Sh(S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高)3台体的体积：V台体
16、(SS)h(S，S分别表示台体的上、下底面面积，h表示台体的高)答一答3柱体的体积与哪些量有关？提示：柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与底面的形状以及是斜棱柱或直棱柱无关4对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面类型一多面体的表面积与体积 例1已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积解如图，在三棱台ABCABC中，取上、下底面的中心分别为O，O，BC，BC的中点分别为
17、D，D，则DD是梯形BCCB的高所以S侧3(2030)DD75DD.又AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为S上S下(202302)325(cm2)由S侧S上S下，得75DD325，所以DD(cm)，OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱台的高hOO4(cm)由棱台的体积公式，可得棱台的体积为：V(S上S下)1 900(cm3)在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积与体积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理.变式训练1(1)如图，已知正四棱锥
18、VABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC6 cm，VC5 cm，则正四棱锥VABCD的体积为24 cm3. (2)如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要5.6 m2铁板(精确到0.1 m2)解析：(1)因为四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，且对角线AC6 cm，所以BD6 cm，且ACBD，所以SABCDACBD6618(cm2)，因为VM是棱锥的高，且VC5 cm，所以RtVMC中，VM4(cm)，所以正四棱锥VABCD的体积为VSAB
19、CDVM18424 (cm3)(2)因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m所以S侧Ch60.461.64.416(m2)所以S表S侧S上底S下底4.41620.46265.6(m2)故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板类型二旋转体的表面积与体积 例2(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是()A. B.C64 D128(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180，则圆台的表面积为_cm2.(结果中保留)解析(1)设圆锥的底面半径为r，母线为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r，即
20、lr，由题意得，侧面积S侧rlr216，解得r4，l4，圆锥的高h4，圆锥的体积VSh424.故选A.(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，因为扇环的圆心角是180，故cSA210(cm)，所以SA20 cm.同理可得SB40 cm，所以ABSBSA20 cm，所以S表面积S侧S上底S下底(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.答案(1)A(2)1 100解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长
21、，再分别代入公式求各自的表面积或体积.变式训练2一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积解：如图，梯形ABCD中，AD2，AB4，BC5.作DMBC，垂足为点M，则DM4，MC523.在RtCMD中，由勾股定理得CD5.在旋转形成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为S1，S2，S3，则S14216，S224216，S34520，故此旋转体的表面积为SS1S2S352.VV柱V锥AB2ADMD2MC422423321648.类型三表面积、体积与三视图的综合应用 例3一个棱锥的三
22、视图如下图，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为()A4812 B4824C3612 D3624解析该棱锥为一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，如右图，取AB中点E，连接SE，由已知可知：SD4，ABBC6，SE5，AC6.S66256644812.答案A当给出几何体的三视图，求该几何体的表面积或体积时，应首先根据三视图确定该几何体的结构特征，是简单组合体的还应将其分解为柱、锥、台，再根据公式计算表面积或体积.变式训练3若一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为.解析：根据题图可知该几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥组成的，故V几何体V四棱柱V四棱锥112221.1已知长方体的过一个顶点的三条棱
23、长的比是123，对角线的长是2，则这个长方体的体积是(D)A6 B12 C24 D48解析：设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2(2x)2(3x)2(2)2，解得x2.三条棱长分别为2、4、6.V长方体24648.2圆台上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，这个圆台的体积是(D)A. B2C. D.解析：设圆台的高为h，上底面的半径为r，下底面的半径为R，母线长为l.由题可知r2，R24，则r1，R2.又因为圆台的侧面积为6，所以l(rR)6，所以l2.因为h2(Rr)2l2，所以h.故圆台的体积V(4).3一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则
24、该几何体的表面积为(C)A12 B18C24 D36解析：由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r3，母线l5，S表rlr224.故选C.4一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为72 cm2.解析：棱柱的侧面积S侧36472(cm2)5一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为.解析：设底面半径为r，侧面积42r2，表面积为2r242r2，其比为.本课须掌握的三大问题1圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键2计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题3在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”