1、第十章排列、组合和二项式定理综合能力测试本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1满足Cx23x14C的x的值是()A2和3B2,3和5C3和5 D只有3答案：C解析：由组合数性质，CC，得x23x2x6或x23x2x614，解得x2或x3或x4或x5，又x23x0且2x60，x3或5.故选C.2(2009广西一模)在(1x)6展开式中，含x3项的系数是()A20B20C120D120答案：B解析：通项Tr1C(x)
2、r(1)rCxr，所以x3项的系数是(1)3C20.3(2009湖南，5)某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A14 B16 C20 D48答案：B解析：分两类：含有甲有CC种，不含有甲有C种，共有CCC16(种)，选B.4(2009湖北，4)从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有()A120种 B96种C60种 D48种答案：C解析：按分步计数原理求解先从5人中选出4人参加活动
3、有C种方法，要依次安排三天派出的人员，分别有C，C，C种方法，所以共有CCC54360种方法，故选C.5(2009四川，11)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A60 B48 C42 D36答案：B解析：依题意，先排3位女生，有A种再把男生甲插到3位女生中间有A种把相邻的两位女生捆绑，剩下一个男生插空，有C种，所以不同排法种数为AAC48，故选B.6(2009陕西，9)从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为()A432 B288 C216 D108答案
4、：C解析：第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共CC18种，第二步再把4个数排列，其中是奇数的共AA12种，故所求奇数的个数共有1812216种故选C.7若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为()A4 B. C4 D.答案：C解析：(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4的系数为：4a115，a4.故选C.8若(x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A10 B20 C30 D120答案：B解析：CCC2n64，n6.Tr1Cx6rxrCx62r，令62r0，r3，常数项：T4C20，故选B.9(2009江西，7)(1
5、axby)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()Aa2，b1，n5 Ba2，b1，n6Ca1，b2，n6 Da1，b2，n5答案：D解析：不含x的项的系数的绝对值为(1|b|)n24335，不含y的项的系数的绝对值为(1|a|)n3225，n5，故选D.10(2010重庆模拟)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A8种 B12种C16种 D20种答案：B解析：联想一空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即CC；也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即CC12种11(2
6、009西安地区八校联考)某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A、B、C、D、E、F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有()A24种 B36种C48种 D72种答案：B解析：若A上第一节课，则第四节课只能由C上，其余两节课由其他人上，有A种安排方法；若B上第一节课，则第四节课有2种安排方法，其余两节课由其他人上，有2A种安排方法所以不同安排方法的种数为A2A36.12(2010江苏丹阳模拟)若对于任意的实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a2的值为()A3 B6
7、 C9 D12答案：B解析：解法一：等式右边为二项式结构，因此将左边x3转化为二项式形式：x3(x2)23C(x2)320C(x2)221C(x2)122C(x2)023，a2C216.解法二：显然a31，等式右边x2的系数为a2a3C(2)，而等式左边x2的系数为0，a26.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13(2009重庆，13)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有_种(用数字作答)答案：72解析：先求5个人的全排列，再减去甲、乙相邻时的排法，AAA1204872.14(2009上海，11)若某学校要从5名男生和
8、2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名有_种选法答案：25解析：分两类：1男2女或2男1女，所选人数CCCC52025.15(2009湖南，10)在(1x)3(1)3(1)3的展开式中，x的系数为_(用数字作答)答案：7解析：CCC2317.16(2009四川，13)(2x)6的展开式的常数项是_(用数字作答)答案：20解析：展开式的通项公式Tr1C(2x)6r()r(1)rC26rx62r()r，当62r0即r3时为此二项展开式的常数项，为(1)3C23()320.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17(200
9、9五校单元训练)(本小题满分10分)(1)求77777被19整除所得的余数；(2)求1.025的近似值(精确到0.01)解析：(1)777614191，77777(761)777C7677C7676C76C1776(C7676C7675C)19(196)，所以余数是19613.(2)1.025(10.02)51C0.02C0.022C0.023C0.024C0.025，C0.02241030.004，C0.0238105，当精确到0.01时，只需取展开式的前三项和为：10.100.0041.104.则近似值为1.10.18(本小题满分12分)已知(2)n展开式中的第四、第五、第六项的二项式系数
10、成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数分析：问题的关键在于求n，n确定后，可由二项式系数的性质确定项解析：由于第四、第五、第六项的二项式系数成等差数列可得CC2C建立关于n的方程得2，化简得n221n980，解得n14或7，当n14时，二项式系数最大的项是T8，其系数为C27()73432；当n7时，二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C24()370，T5的系数为C23()4.总结评述：在(2)n的展开式中，每一项的系数与它的二项式系数是不同的求解中若不注意这一点，就会产生错误利用方程的观点建立关于n的方程是二项式系数应用的一大特点，求解时注意：是求二项式系数最大的系数，而不
11、是求二项式系数19(本小题满分12分)用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复的五位数(1)被4整除；(2)比21034大的偶数；(3)左起第二、四位是奇数的偶数解析：(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分两类：当末两位数是20,40,04时，其排列数为3A18个，当末两位数是12,24,32时，其排列数为3AA12个，故满足条件的五位数共有3A3AA30个(2)法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有AAA6个；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有AA12个；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有AA12个；当末位数字是4，而首位数字
12、是2时，有AA3个；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A6个故有(AAA)AAAAAAA39个法二：不大于21034的偶数可分为三类：万位数字为1的偶数，有AA18个；万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有A个；还有21034本身而由0,1,2,3,4组成的五位偶数有AAAA60个故满足条件的五位偶数共有60AAA139个(3)法一：可分两类，0是末位数，有AA4个，2或4是末位数，有AA4个故共有AAAA8个法二：第二、四位从奇数1,3中取，有A；首位从2,4中取，有A个；余下的排在剩下的两位，有A个，故共有AAA8个反思归纳：(1)数字排列问题，0不能排首位，特殊元素(特殊位置)应优先考
13、虑；(2)合理分类或分步，做到不重不漏；(3)正难则反，注意间接法的应用20(本小题满分12分)已知在()n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项解析：(1)通项公式为Tr1Cx(3)rxC(3)rx.第6项为常数项，r5时，有0，n10.(2)令2，得r(n6)2，所求的系数为C(3)2405.(3)根据通项公式，由题意，得令k(kZ)，则102r3k，r5k.rN，k应为偶数故k可取2,0,2，即r可取2,5,8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为：C(3)2x2、C(3)5、C(3)8x2.21(本小题满分12分)从5名男
14、生、3名女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数；(1)女生甲担任语文课代表；(2)男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表；(3)3名男课代表，2名女课代表，男生乙不任英语课代表分析：本题是先组合后排列问题，特殊情况可优先考虑解析：(1)女生甲担任语文课代表，再选四人分别担任其他四门学科课代表，方法数有CA840种(2)先选出4人，有C种方法，连同乙在内，5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有AA种方法，所以方法数为CAA3360种(3)分两类，乙担任课代表，乙不担代课任表第一类：乙担任课代表，先选出2名男生2名女生，有CC种方法，连同乙在内，5人担任5门
15、不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有AA种方法，方法数为CCAA种；第二类：乙不担任课代表，有CCA种方法根据分类计数原理，共有CCAACCA3168种不同方法22(本小题满分12分)已知数列an(nN*)是首项为a1公比为q的等比数列(1)求和a1Ca2Ca3C，a1Ca2Ca3Ca4C；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明解析：(1)a1Ca2Ca3Ca12a1qa1q2a1(1q)2，a1Ca2Ca3Ca4Ca13a1q3a1q2a1q3a1(1q)3.(2)归纳概括的结论为：若数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1Ca2Ca3Ca4C(1)nan1Ca1(1q)n，n为正整数证明：a1Ca2Ca3Ca4C(1)nan1Ca1Ca1qCa1q2Ca1q3C(1)na1qnCa1CqCq2Cq3C(1)nqnCa1(1q)n.