1、第八章 立体几何第四讲直线、平面垂直的判定及性质练好题考点自测1.下列说法错误的是()A.垂直于同一个平面的两条直线平行B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直2.2021合肥市调研检测已知m,n为直线,为平面,且m,则“nm”是“n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.2017全国卷,5分在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBDC
2、.A1EBC1 D.A1EAC4.2021湖南模拟如图8-4-1,在三棱锥V-ABC中,VO平面ABC,OCD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中不一定成立的是()图8-4-1A.AC=BCB.ABVCC.VCVDD.SVCDAB=SABCVO5.2019北京,5分已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.6.2020江苏,14分如图8-4-2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,B1C平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF平面AB1C1.(2)求证:平面AB1C平面A
3、BB1.图8-4-2拓展变式1.2021陕西省部分学校摸底测试如图8-4-4,在四棱锥P-ABCD中, BP平面PDC,四边形ABCD是一个直角梯形,ADBC,ABC=90,AD=AB=BC.图8-4-4 (1)求证:CD平面PBD.(2)若AB=BP=PA,且VP-ABCD=16,求三棱锥P-ABD的侧面积.2.2020南昌市三模如图8-4-7,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BC=,AC=2,四边形ABB1A1为菱形,且ABB1=60,ACCC1.图8-4-7 (1)求证:平面ABB1A1平面BB1C1C.(2)求点B1到平面ABC的距离. 3.2019江苏,14分如图8-4-10
4、,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.图8-4-10求证:(1)A1B1平面DEC1;(2)BEC1E.答 案第四讲直线、平面垂直的判定及性质1.D对于A,由线面垂直的性质定理知,垂直于同一个平面的两条直线平行,A正确;对于B,由面面垂直的性质定理知,若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B正确; 对于C,由面面平行的判定定理知,一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行,C正确; 对于D,当一条直线与一个平面内的无数条相互平行的直线垂直时,该直线与这个平面不一定垂直,D错误.故选D.2.B当直线m
5、,n都在平面内时,不能由mn推出n;若n,且m,由线面垂直的性质知mn.所以“nm”是“n”的必要不充分条件,故选B.3.C由正方体的性质得A1B1BC1,B1CBC1,又A1B1B1C=B1,所以BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,所以A1EBC1,故选C.4.C因为VO平面ABC,AB平面ABC,所以VOAB.因为VA=VB,AD=BD,所以VDAB.而VOVD=V,所以AB平面VCD.因为CD平面VCD,所以ABCD,所以AC=BC,可知A一定成立.因为VC平面VCD,所以ABVC,可知B一定成立.因为SVCD=VOCD,SABC=ABCD,所以SVCDAB=SABCVO,
6、可知D一定成立.由题中条件无法判断VCVD,可知C不一定成立.故选C.5.若lm,l,则m.(答案不唯一)若l,lm,则m,显然正确;若lm,m,则l或l与相交,故不正确;若l,m,则l垂直内所有直线,在内必存在与m平行的直线,所以可推出lm,故正确.6.(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EFAB1.又EF平面AB1C1,AB1平面AB1C1,所以EF平面AB1C1.(2)因为B1C平面ABC,AB平面ABC,所以B1CAB.又ABAC,B1C平面AB1C,AC平面AB1C,B1CAC=C,所以AB平面AB1C.又因为AB平面ABB1,所以平面AB1C平面ABB1.1.(1)如图D
7、 8-4-1,设E是BC的中点,连接DE,设AD=AB=BC=a,则BE=EC=a,所以AD=AB=BE.图D 8-4-1又ADBE,ABC=90,所以四边形ABED为正方形,所以DE=a,且DEBC,所以BD=DC=a.又BC=2a,所以由勾股定理的逆定理得CDBD.因为BP平面PDC,CD平面PDC,所以BPCD.又BDBP=B,所以CD平面PBD.(2)因为BP平面PDC,所以BPPD,所以PD=a,所以PD=PB.如图D 8-4-1,在等腰直角三角形PBD中,设O是BD的中点,连接PO,则POBD,PO=BD=a.由(1)知CD平面PBD,所以CDPO.又BDCD=D,所以PO平面AB
8、CD.由(1)得S梯形ABCD=,所以VP-ABCD=S梯形ABCDPO=a=16,得a=4.所以PAB和PAD都是边长为4的等边三角形,PBD是一个腰长为4的等腰直角三角形,所以三棱锥P-ABD的侧面积S侧=SPAB+SPAD+SPBD=4+4+8=8+8. 2.(1)如图D 8-4-2,取BB1的中点O,连接AB1,OA,OC.图D 8-4-2菱形ABB1A1中,ABB1=60,故ABB1是等边三角形,则AOBB1,BO=1,AO=.又BB1CC1,ACCC1,所以ACBB1,又AOBB1,AOAC=A,故BB1平面AOC,所以BB1CO,在RtBOC中,CO=1,所以CO2+AO2=AC
9、2,故COAO,又AOBB1,COBB1=O,所以AO平面BB1C1C,又AO平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面BB1C1C.(2)如图D 8-4-2,连接B1C,由(1)知=AO=BB1COAO=,在ABC中,cosBAC=,所以sinBAC=,所以SABC=ABACsinBAC=.设点B1到平面ABC的距离为h,则h=.3.(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又ED平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A1B1平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C平面ABC.又BE平面ABC,所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C,所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.