1、2.3 平面向量基本定理及坐标表示 小结 编审：周彦 魏国庆【学习目标】1. 了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的线性运算；会用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识重温】1平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使_.向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴_的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使得_，则有序数对(x、y)叫做向量的坐标，记作_，其中x，y分别叫做在x轴、y轴上的坐标，(x
2、，y)叫做向量的坐标表示。相等的向量其_相同，_相同的向量是相等向量3平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_，2)已知(x1，y1)，=(x2，y2)，则=_，=_，_； (0)_.(3)(x1，y1)，= (x2，y2)，_.思考感悟1基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，故基底的选取是不唯一。平面内任意向量都可被这个平面的一组基底，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2向量坐标与点的坐标区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量，此时点A的坐标与的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量(x，y)当
3、平面向量平行移动到时，向量不变即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化对点练习：1已知向量=(1，2)，=(3,4)，则等于()A(2,3) B(2，3) C(2,3) D(2，3)2已知向量=(1,1)，=(2，x)，若与42平行，则实数x的值是()A2 B0 C1 D23已知向量=(1,2)，(1,0)，(3,4)若为实数，()，则()A. B. C1 D24下列各组向量中，能作为基底的是()=(1,2)，(2,4)=(1,1)，(1，1)=(2，3)，(3,2)=(5,6)，=(7,8)A B C D【自学探究】考点一 平面向量基本定理例1、如图所示，在平行四边形ABCD中
4、，M，N分别为DC，BC的中点，已知，试用，表示，.规律总结：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算解题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决变式1：如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_考点二 平面向量的坐标运算例2、已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设，且3，2.(1)求33； (2)求满足mn的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标规律总结：若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用变
5、式2在ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5) C(3,5) D(2,4)考点三 平面向量共线的坐标表示例3、平面内给定三个向量(3,2)，= (1,2)，(4,1)回答下列问题：(1)若(k)(2)，求实数k；(2)设(x，y)满足()()且|1，求.规律总结：用坐标来表示向量平行，实际上是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算变式3、(1)(2013陕西卷)已知向量(1，m)，=(m,2)，若，则实数m等于()A B. C或 D0(2)已知梯形ABCD，其中ABCD
6、，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_【课堂小结】1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理3在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用4要注意区分点的坐标与向量的坐标有可能。【当堂达标】1(2014北京卷)已知向量(2,4)，= (1,1)，则2()A(5,7) B(5,9) C(3,7) D(3,9)2(2014揭阳二模)已知点A(1,5)和向量(2,3)，若3，则点B的坐标为()A(7
7、,4) B(7,14) C(5,4) D(5,14)3(2015许昌模拟)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(2,7) B(6,21) C(2，7) D(6，21) 4.已知两点在直线AB上，求一点P是。【课时作业】1、若向量（x+3，x23x4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为()A、1B、1或4C、4D、1或42、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是（ ）A、（1，8） B，（5，2） C、（1l，6） D、（5，2）3、己知P1(2,1) 、P2(0,5)
8、 且点P在P1P2的延长线上, 则P点坐标为( )A、(2,11) B、(C、(,3) D、(2,7)4、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（1,3），若点C满足，其中、R，且1，则点C的轨迹方程为 （ ）A、32110 B、（x-1）2+（y-2）2=5C、20D、2505、已知点A（1，5），若向量与向量（2，3）同向，且3，则点B的坐标为_6、平面上三个点，分别为A（2，5），B（3，4），C（1，3），D为线段BC的中点，则向量的坐标为_7、已知点A（1，2），B（2，8）及，求点C、D和的坐标。8、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（1，2），求平行四边形的各个顶点坐标。【延伸探究】如图，中AD是三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。GEDCBA