1、第十四章 导数综合能力测试()本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1已知某函数的导数为 y12(x1)，则这个函数可能是()Ayln 1x Byln11xCyln(1x)Dyln 11x答案：A解析：对选项求导(ln 1x)11x(1x)11x12(1x)12(1)12(x1).故选 A.2(2009江西)设函数 f(x)g(x)x2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x
2、1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A4 B14 C2 D12答案：A解析：f(x)g(x)2x.yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，g(1)2，f(1)g(1)21224，yf(x)在点(1，f(1)处切线斜率为 4.3(2009辽宁)曲线 y xx2在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2By3x2Cy2x3Dy2x1答案：D解析：y(xx2)2(x2)2，ky|x12.l：y12(x1)，则 y2x1.故选 D.4曲线 yex 在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A.94e2B2e2Ce2D.e22答案：D解析：yex，yex
3、在点(2，e2)的导数为 e2.yex 在点(2，e2)的切线方程为 ye2xe2.ye2xe2 与 x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)和(0，e2)，S121e2e22.故选 D.5已知函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案：D解析：由题意知函数 f(x)，g(x)都为增函数，当 xx0 时，由图象知 f(x)g(x)，即f(x)的增长速度大于 g(x)的增长速度；当 xx0 时，f(x)g(x)，g(x)的增长速度大于 f(x)的增长速度，数形结合，选 D.6设 y8x2lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别()A
4、单调递增，单调递减B单调递增，单调递增C单调递减，单调递增D单调递减，单调递减答案：C解析：y16x1x.当 x(0，14)时，y0，y8x2lnx 为减函数；当 x(12，1)时，y0，y8x2lnx 为增函数7下列关于函数 f(x)(2xx2)ex 的判断正确的是()f(x)0 的解集是x|0 x2；f(2)是极小值，f(2)是极大值；f(x)没有最小值，也没有最大值ABCD答案：D解析：由 f(x)0(2xx2)ex02xx200 x2，故正确；f(x)ex(2x2)，由 f(x)0 得 x 2，由 f(x)0 得 x 2或 x 2，由 f(x)0 得 2x 2，f(x)的单调减区间为(
5、，2)，(2，)单调增区间为(2，2)f(x)的极大值为 f(2)，极小值为 f(2)，故正确x 2时，f(x)0 恒成立f(x)无最小值，但有最大值 f(2)不正确8已知 f(x)x3x，xm，n，且 f(m)f(n)0，则方程 f(x)0 在区间m，n上()A至少有三个实根B至少有两个实根C有且只有一个实根D无实根答案：C9已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是()A1a2B3a6Ca3 或 a6Da1 或 a2答案：C解析：由于 f(x)x3ax2(a6)x1，有 f(x)3x22ax(a6)若 f(x)有极大值和极小值，则 4a212(a6
6、)0，从而有 a6 或 a3，故选 C.10要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20cm，要使其体积最大，其高应为()A.2033cmB100cmC20cmD.203 cm答案：A解析：设高为 h，则半径为 202h2，体积 V13r2h13(202h2)h13h32023 h(0h20)，Vh22023.令 V0，得 h2033或 h2033(舍去)，即当 h2033时，V 为最大值11(2010河南省实验中学)若函数 f(x)(2m)xx2m 的图象如图所示，则 m 的范围为()A(，1)B(1,2)C(1,2)D(0,2)答案：C解析：f(x)(x2m)(m2)(x2m)2(x m)(x m
7、)(m2)(x2m)2由图知 m20，且 m0，故 0m2，又 m1，m1，因此 1m2，选 C.12定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)1.f(x)为 f(x)的导函数，已知函数 yf(x)的图象如图所示若两正数 a，b 满足 f(2ab)1，则b2a2的取值范围是()A(13，12)B(，12)(3，)C(12，3)D(，3)答案：C解析：由 yf(x)的图象知，当 x0 时，f(x)0，函数 f(x)是减函数；当 x0 时，f(x)0，函数 f(x)是增函数；两正数 a，b 满足 f(2ab)1，f(4)1，点(a，b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，b2a2的意义为阴影部
8、分的点与点 A(2，2)连线的斜率，直线 AB、AC 的斜率分别为12、3，则b2a2的取值范围是(12，3)，故选 C.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在题中的横线上。)13(2009武汉模拟)函数 yxln(x)1 的单调减区间是_答案：(1e，0)14已知函数 f(x)x312x8 在区间3,3上的最大值与最小值分别为 M，m，则 Mm_.答案：32解析：令 f(x)3x2120，得 x2 或 x2，列表得：x3(3，2)2(2,2)2(2,3)3f(x)00f(x)17极值 24极值81可知 M24，m8，Mm32.15(2009南京一调)已知函
9、数 f(x)axx4，x12，1，A、B 是其图象上不同的两点若直线 AB 的斜率 k 总满足12k4，则实数 a 的值是_答案：92解析：f(x)a4x3，x12，1，由题意得12a4x34，即 4x312a4x34 在 x12，1上恒成立，求得92a92，则实数 a 的值是92.16(2009淮北模拟)已知函数 f(x)的导数 f(x)a(x1)(xa)，若 f(x)在 xa 处取到极大值，则 a 的取值范围是_答案：(1,0)解析：结合二次函数图象知，当 a0 或 a1 时，在 xa 处取得极小值，当1a0 时，在 xa 处取得极大值，故 a(1,0)三、解答题(本大题共 6 小题，共
10、70 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17(本小题满分 10 分)设 a 为大于 0 的常数，函数 f(x)xln(xa)(1)当 a34，求函数 f(x)的极大值和极小值；(2)若使函数 f(x)为增函数，求 a 的取值范围解析：(1)当 a34时，f(x)12 x 1x34，令 f(x)0，则 x2 x340，x94或14，当 x0，14时，f(x)0，当 x(14，94)，f(x)0，f(x)极大值f(14)12，f(x)极小值f(94)32ln3.(2)f(x)12 x 1xa，若 f(x)为增函数，则当 x0，)时，f(x)0 恒成立，12 x 1xa，即 xa2 x，
11、即 a2 xx(x1)21 恒成立，a1.18(本小题满分 12 分)已知函数 yf(x)lnxx.(1)求函数 yf(x)的图象在 x1e处的切线方程；(2)求 yf(x)的最大值；(3)设实数 a0，求函数 F(x)af(x)在a,2a上的最小值解析：(1)f(x)定义域为(0，)，f(x)1lnxx2f(1e)e，又kf(1e)2e2，函数 yf(x)的在 x1e处的切线方程为：ye2e2(x1e)，即 y2e2x3e.(2)令 f(x)0 得 xe.当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上为增函数，当 x(e，)时，f(x)0，则在(e，)上为减函数，fmax(x)f(e
12、)1e.(3)a0，由(2)知：F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减F(x)在a,2a上的最小值 f(x)minminF(a)，F(2a)，F(a)F(2a)12lna2，当 0a2 时，F(a)F(2a)0，fmin(x)F(a)lna.当 a2 时，F(a)F(2a)0，f(x)minf(2a)12ln2a.19(本小题满分 12 分)设 a0，函数 f(x)xa x21a.(1)若 f(x)在区间(0,1上是增函数，求 a 的取值范围；(2)求 f(x)在区间(0,1上的最大值解析：(1)对函数 f(x)求导数，得 f(x)1axx21.要使 f(x)在区间(0,1上是增
13、函数，又要 f(x)1axx210 在(0,1上恒成立，即 a x21x11x2在(0,1上恒成立因为11x2在(0,1上单调递减，所以11x2在(0,1上的最小值是 2.注意到 a0，所以 a 的取值范围是(0，2(2)当 0a 2时，由(1)知，f(x)在(0,1上是增函数，此时 f(x)在区间(0,1上的最大值是 f(1)1(1 2)a.当 a 2时，令 f(x)1axx210，解得 x1a21(0,1)因为当 0 x1a21时，f(x)0；当1a21x1 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，1a21)上单调递增，在(1a21，1)上单调递减此时 f(x)在区间(0,1上的最大值是 f
14、(1a21)a a21.综上所述，当 0a 2时，f(x)在区间(0,1上的最大值是 1(1 2)a；当 a 2时，f(x)在区间(0,1上的最大值是 a a21.20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)1ln(x1)x.(x0)(1)函数 f(x)在区间(0，)上是增函数还是减函数？证明你的结论；(2)若当 x0 时，f(x)kx1恒成立，求正整数 k 的最大值解析：(1)f(x)1x2 xx11ln(x1)1x2 1x1ln(x1)由 x0，x20，1x10，ln(x1)0，得 f(x)0.因此函数 f(x)在区间(0，)上是减函数(2)解法一：当 x0 时，f(x)kx1恒成立，令
15、 x1 有 k21ln2又 k 为正整数则 k 的最大值不大于 3.下面证明当 k3 时，f(x)kx1(x0)恒成立即证明 x0 时(x1)ln(x1)12x0 恒成立令 g(x)(x1)ln(x1)12x，则 g(x)ln(x1)1.当 xe1 时，g(x)0；当 0 xe1 时，g(x)0.当 xe1 时，g(x)取得最小值 g(e1)3e0.当 x0 时，(x1)ln(x1)12x0 恒成立因此正整数 k 的最大值为 3.解法二：当 x0 时，f(x)kx1恒成立即 h(x)(x1)1ln(x1)xk 对 x0 恒成立即 h(x)(x0)的最小值大于 k.由 h(x)x1ln(x1)x
16、2，记(x)x1ln(x1)(x0)则(x)xx10，(x)在(0，)上连续递增又(2)1ln30，(3)22ln20，(x)0 存在惟一实根 a，且满足：a(2,3)，a1ln(a1)，由 xa 时，(x)0，h(x)0；0 xa 时，(x)0，h(x)0 知：h(x)(x0)的最小值为 h(a)(a1)1ln(a1)aa1(3,4)因此正整数 k 的最大值为 3.21(2009天津)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中 aR.(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)当 a23时，求函数 f(x)的单调区间与
17、极值命题意图：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法解析：(1)当 a0 时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故 f(1)3e.所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 3e.(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令 f(x)0，解得 x2a，或 xa2.由 a23知，2aa2.以下分两种情况讨论若 a23，则2aa2，当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(2a)，2 a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以 f(x)在(，2a)，(a2，)
18、内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数 f(x)在 x2a 处取得极大值 f(2a)，且 f(2a)3ae2a.函数 f(x)在 xa2 处取得极小值 f(a2)，且 f(a2)(43a)ea2.若 a23，则2aa2.当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以 f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数函数 f(x)在 xa2 处取得极大值 f(a2)，且 f(a2)(43a)ea2.函数 f(x)在 x2a 处取得极小值 f(2a)，且 f(2a)3ae2a.22(20
19、10保定市高三摸底考试)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)lnxx ax1(aR)(1)求函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若 f(x)0 在区间(0，e2上恒成立，求实数 a 的取值范围解析：(1)因为函数 f(x)的定义域为(0，)，导函数 f(x)1(lnxa)x2，kf(1)1a，又 f(1)a1，即切点坐标为(1，a1)，所以，函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为：y(a1)(1a)(x1)，即 y(1a)x2(a1)(2)结合(1)，令 f(x)0 得 xe1a，由对数函数的单调性知：当 x(0，e1a)时，f(x)0，f(x)是增函数；当 x(e1a，)时，f(x)0，f(x)是减函数()当 e1ae2 时，a1 时，f(x)maxf(e1a)ea11，令 ea110，解得 a1，即1a1，()当 e1ae2 即 a1 时，f(x)在(0，e2上是增函数，f(x)在(0，e2上的最大值为 f(e2)2ae2 1，令2ae2 10，解得 ae22，即 a1，综上可知，实数 a 的取值范围是 a1.