1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修2-2 第一章 推理与证明成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 推理与证明 第一章 第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 第一章 章末归纳总结第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 知 识 结 构 2知 识 梳 理 1专 题 研 究 3限 时 训 练 4第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 知 识 梳 理第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 1
2、函数的单调性研究可导函数的单调性的一般方法步骤：确定函数的定义域；求f(x)，令f(x)0，解此方程把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间确定f(x)在各小开区间内的符号，根据f(x)的符号判定f(x)在每个相应区间内的增减性如果f(x)在某区间恒有f(x)0，则f(x)为常数函数第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 2函数的极值函数极值的判别方法：定义法，若f(x)在x0点附近有定义，且满足附近所有点x都有f(x)0，右侧f(x)0，那么f(
3、x0)是极大值；若左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值注：导数不存在的点有可能是极值点；而导数为0的点也不一定是极值点第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 3函数的最大、小值函数最值与极值的区别与联系：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值第一章 章末归纳总结
4、 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2(4)如果函数不在闭区间a，b上可导，则确定函数的最值时，不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值(5)在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 知 识 结 构第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 专 题
5、 研 究第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 单调性已知aR，求函数f(x)x2eax的单调区间(注yeax(a为常数)的导数yaeax)解析 函数f(x)的导数f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.(1)当a0时，若x0，则f(x)0，则f(x)0.所以，当a0时，函数f(x)在区间(，0)内为减函数，在区间(0，)内为增函数第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2(2)当a0时，由2xax20，解得x0；由2xax20，解得2ax0时，函数f(x)在区间(，2a)和区间(0，)内为增函数，在区
6、间(2a，0)内为减函数第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2(3)当a0，解得0 x2a，由2xax20，解得x2a.所以当a0时，函数f(x)在区间(，0)和区间(2a，)内为减函数，在区间(0，2a)内为增函数第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 点评 在判断含参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断，分类讨论的思想必须给予足够的重视，本题的解答真正体现了数学解题思想在联系知识与能力中的作用第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程
7、 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 设f(x)13x3mx2nx.(1)如果g(x)f(x)2x3在x2处取得最小值5，求f(x)的解析式；(2)如果mn0即m2n不妨设两根分别为x1，x2，则|x2x1|2m2n为正整数故m2时才可能有符合条件的m，n当m2时，只有n3符合要求当m3时，只有n5符合要求当m4时，没有符合要求的n综上所述，只有m2，n3或m3，n5满足上述要求第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 分析 利用导数研究函数极值问题，考查函数与方程的思想，以及分类讨论思想，综合运用数学知识解决问题的能力.第一章 章末归纳总结 成才之路
8、 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 极值(2014重庆理，20)已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 解析(1)对f(x)求导得f(x)2ae2x2be2xc，由f(x)为偶函数，知f(x)f(x)，即2(ab)(e2xe2x)0，因e2xe2x0，所以ab.又f(0)2a2bc4c，故a1，b1.(2)当c
9、3时，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x32 2e2x2e2x310，故f(x)在R上为增函数第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x2 2e2x2e2x4，当x0时，等号成立下面分三种情况进行讨论当c0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 当c4时，令e2xt，注意到方程2t 2t c0有两根t1,2c c21640，即f(x)0有两个
10、根x112lnt1或x212lnt2.当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0，从而f(x)在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，).第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 最值(2014江西文，18)已知函数f(x)(4x24axa2)x，其中a0 得 x2 或 x25f(x)的单调增区间为(0，25)和(2，)第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2(2)f(x)(4x24axa2)x，f(x)10 x x6a xa22 1x10 x26axa22x20 x212axa22 x1
11、0 xa2xa2 x.令f(x)0得x1 a10，x2a2.a a100.第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 当x(0，a10)时，f(x)单调递增，当x(a10，a2)时，f(x)单调递减，当x(a2，)时，f(x)单调递增当xa2时，f(x)取极小值为f(a2)0.又f(x)(4x24axa2)x(2xa)2 x0，()当a21时即2a0时，f(x)在1,4单调递增，此时最小值f(1)44aa28解得a2 22，均不符合题意第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2()当1 a2 4，即8a2时，此时 a1
12、0 4，即a45，此时最小值可能为x1或x4取得，f(1)8时，解得a2 2，不适合题意f(4)2(6416aa2)8，解得a10或a6(舍去)而当a10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在1,4上的最小值时f(4)8，符合题意a10.第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 利用导数证明不等式已知函数f(x)(x1)lnxx1.(1)若xf(x)x2ax1，求a的取值范围；(2)证明：(x1)f(x)0.第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 解析】(1)f(x)x1x lnx1lnx1x(x0)，x
13、f(x)xlnx1，故xf(x)x2ax1等价于lnxxA令g(x)lnxx，则g(x)1x1，令g(x)0，解得x1.f(x)的定义域为(0，)当0 x0；当x1时，g(x)0.故x1是g(x)的极大值点，且是最大值点，则g(x)g(1)1.综上，a的取值范围是1，)第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2(2)证明：由(1)知，g(x)g(1)1，即lnxx10.当0 x1时，f(x)(x1)lnxx1xlnx(lnxx1)0；当x1时，f(x)lnx(xlnxx1)lnxx(lnx 1x 1)lnxx(ln1x1x1)0.(x1)f(x)0.第一章
14、 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 点评 函数在某个区间上的导数值大于(小于)0时，则该函数在该区间上单调递增(递减)因而在证明不等式时，根据不等式的特点有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的，即把证明不等式转化为证明函数的单调性高考中经常以解答题形式出现.第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 分析 应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值利用导数求参数的取值范围已知函数f(x)ax332x21(xR)，其中a0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切
15、线方程；(2)若在区间12，12上，f(x)0恒成立，求a的取值范围第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 解析(1)当a1时，f(x)x332x21，f(2)3；f(x)3x23x，f(2)6，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2(2)f(x)3ax23x3x(ax1)，令f(x)0，解得x0或x1a.当00f12 0f12 05a8 05a8 05a5.02时，则01a0f12 0f1a 05a8 01 12a20a，22 22，5
16、，a(2,5)综上所述，a的范围为(0,5)第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 实际问题中的应用为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2(1)求k的值及f(x)的表达式(
17、2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值分析 本小题主要考查函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力可根据题意得出f(x)的解析式，再利用导数解决第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 解析(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)k3x5，再由C(0)8，得k40，因此C(x)403x5，而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20403x56x8003x56x(0 x10)第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导
18、北师大版 数学 选修2-2 点评 利用导数解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的关系式，特别需要注明变量的取值范围(2)f(x)6 24003x52，令f(x)0，即 24003x526，解得x5，x253(舍去)当0 x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)65 80015570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 限 时 训 练第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修
19、2-2 答案 C一、选择题1设p：f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增，q：m43，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 解析 f(x)3x24xm.若f(x)在R上单调递增，则f(x)0.由1643m0，得m43.又q：m43，则p是q的充要条件第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 2设a0，x01，则y01.P(1,1)P到直线yx2的距离的最小值为|112|2 2.第一章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-2 三、解答题6.(2014新课标文，21)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点