1、高考资源网（） 您身边的高考专家第七章不等式高考导航考试要求重难点击命题展望1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：
2、 (a，b0)(1)了解基本不等式的证明过程；(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.本章重点：1.用不等式的性质比较大小；2.简单不等式的解法；3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题；4.基本不等式的应用.本章难点：1.含有参数不等式的解法；2.不等式的应用；3.线性规划的应用.不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点.高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查.线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移.知识网络7.
3、1不等式的性质典例精析题型一比较大小【例1】已知a0，a1，Ploga(a3a1)，Qloga(a2a1)，试比较P与Q的大小.【解析】因为a3a1(a2a1)a2(a1)，当a1时，a3a1a2a1，PQ；当0a1时，a3a1a2a1，PQ；综上所述，a0，a1时，PQ.【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：作差；变形；判断符号；得出结论.【变式训练1】已知ma(a2)，nx2(x)，则m，n之间的大小关系为()A.mnB.mnC.mn D.mn【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.maa22224，而nx2()24.题型二确定取值范围
4、【例2】已知，求，的取值范围.【解析】因为，所以，两式相加得.又，所以，又因为，所以0，所以0，综上，0为所求范围.【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.【变式训练2】已知函数f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围.【解析】由已知4f(1)ac1，1f(2)4ac5.令f(3)9ac(ac)(4ac)，所以故f(3)(ac)(4ac)1,20.题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：ab0； ；bcad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确
5、命题.对不等式作等价变形:0.(1)由ab0，bcad0，即；(2)由ab0，0bcad0bcad，即；(3)由bcad0，0ab0，即.故可组成3个正确命题.【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.【变式训练3】a、b、c、d均为实数，使不等式0和adbc都成立的一组值(a，b，c，d)是_(只要写出符合条件的一组即可).【解析】写出一个等比式子，如0.此时内项的积和外项的积相等，减小的分子，把上式变成不等式0，此时不符合adbc的条件，进行变换可得0，此时2(2)1(3).故(2,1，3，2)是符合要求的一组值.总结提高1.不等式中有关判
6、断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab0，ab这一性质时，不可弱化为ab，也不可强化为ab0.2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.7.2简单不等式的解法典例精析题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x22x30；(2)已知Ax|3x27x20，B
7、x|2x2x10，求AB，(RA)B.【解析】(1)方程两根为x11，x23，所以原不等式解集为x|x1或x3.(2)因为Ax|x2，RAx|x或x2，Bx|x或x1，所以ABx|x或x，(RA)Bx|x或x2.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A.(，31，)B.3，1C.3，1(0，)D.3，)【解析】选C.由已知对x0时f(x)x2bxc，且
8、f(4)f(0)，知其对称轴为x2，故2b4.又f(2)0，代入得c4，故f(x)分别解之取并集即得不等式解集为3，1(0，).题型二解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x的不等式mx2(m2)x20 (mR).【解析】当m0时，原不等式可化为2x20，即x1；当m0时，可分为两种情况：(1)m0 时，方程mx2(m2)x20有两个根，x11，x2.所以不等式的解集为x|x1或x；(2)m0时，原不等式可化为mx2(2m)x20，其对应方程两根为x11，x2，x2x1(1).m2时，m20，m0，所以x2x10，x2x1，不等式的解集为x|1x；m2时，x2x11，原不等式可化为(x1)
9、20，解集为；2m0时，x2x10，即x2x1，不等式解集为x|x1.综上所述：当m2时，解集为x|1x；当m2时，解集为；当2m0时，解集为x|x1；当m0时，解集为x|x1；当m0时，解集为x|x1或x.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x的不等式0.【解析】原不等式等价于(ax1)(x1)0.当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x|x或x1；当1a0时，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为x|1x.题型
10、三一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax2bxc0的解集为x|1x3，求不等式cx2bxa0的解集.【解析】由于ax2bxc0的解集为x|1x3，因此a0，且ax2bxc0的两根为1、3，则13，13，即4，3.又a0，不等式cx2bxa0可以化为x2x10，即3x24x10，解得x或x1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2009江西)若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k.【解析】.作出函数y和yk(x2)的图象，函数y的图象是一个半圆，函数yk(x
11、2)的图象是过定点(2，)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a1，即1是方程k(x2)的根，代入得k.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一平面区域【例
12、1】已知函数f(x)的定义域为2，)，且f(4)f(2)1，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如图所示，则平面区域所围成的面积是() A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f(x)的图象可知，f(x)在2,0上是减函数，在0，)上是增函数.因为f(2)f(4)1，所以当且仅当x(2,4)时，有f(x)f(2)f(4)1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a0，b0，且当时，恒有axby1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是
13、()A.B.C.1D.【解析】选C.当ab1时，满足xy1，且可知0a1，0b1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二利用线性规划求最值(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；(3)z的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x2y4z过点C时，z最大.所以x7，y9时，z取最大值21.(2)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是()
14、2.(3)z2表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(1，)连线斜率的2倍.因为kQA，kQB，所以z的取值范围为，.【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练2】已知函数f(x)x3ax2bx1(a，bR)在区间1,3上是减函数，求ab的最小值.【解析】因为f(x)x22axb，f(x)在区间1,3上是减函数.所以f(x)0在1,3上恒成立.则作出点(a，b)表示的平面区域.令zab，求出直线2ab10与6ab90的交点A的坐标为(1,3).当直线zab过点A(1,3)时，zab取最小值2.题型三线性规划的实际应
15、用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二种有56 m3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m3，第二种木料0.08m3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m3，第二种木料0.28 m3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x，衣柜生产的个数为y，所获利润为z，则z6x10y，当直线l：6x10y0平移到经过点M(350,100)时，z6x10y最大.zmax6350101003 100，所以生产圆桌350张，衣
16、柜100个可获得最大利润3 100元.【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x0，y0)，然后画出可行域，利用图形求解.【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费元.【解析】500.设需35千克的x袋，24千克的y袋，则目标函数z140x120y，约束条件为当x1时，y，即y3，这时zmin1401203500.总结提高1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标
17、函数是关键.2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.7.4基本不等式及应用典例精析题型一利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x，yR，且xy(xy)1，则()A.xy2(1) B.xy2(1)C.xy2(1)2 D.xy(1)2(2)已知a，bR，则，的大小顺序是.【解析】(
18、1)选A.由已知得xy1(xy)，又xy()2，所以()21(xy).解得xy2(1)或xy2(1).因为xy0，所以xy2(1).(2)由有ab2，即ab，所以.又，所以，所以.【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设abc，不等式恒成立，则的取值范围是.【解析】(，4).因为abc，所以ab0，bc0，ac0.而(ac)()(ab)(bc)()4，所以4.题型二利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x，则函数y4x2的最大值为；(2)已知二次函数f(x)ax2bxc的导数f(x)，f(0)0，对任意实数x，有f(x)0，则的最小值为()A.3 B
19、. C.2 D.【解析】(1)因为x，所以54x0.所以y4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.所以x1时，ymax1.(2)选C.因为f(x)0，所以所以c.又f(x)2axb，所以f(0)b0，1112，当且仅当c且4a2b2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得abxy，cdxy，所以2，当0时，4；当0时，0，故的取值范围是(，04，).题型三应用基本不等式解
20、实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)62619x(x1).设平均每天所支付的总费用为y1，则y19x(x1)90061 8009x10 80
21、9210 80910 989，当且仅当9x，即x10时，取等号.即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y29x(x1)90061 8000.99x9 729(x35).因为y29，当x35时，y20.所以y29x9 729在35，)上是增函数.所以x35时，y2取最小值.由10 989知，该厂可以利用此优惠条件.【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当
22、等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a0，b0，且2ab1，求S24a2b2的最大值.【解析】因为a0，b0,2ab1，所以4a2b2(2ab)24ab14ab，且12ab2，即，ab.所以S24a2b22(14ab)24ab1，当且仅当a，b时，等号成立.总结提高1.基本不等式的几种常见变形公式：ab()2(a，bR)；(a0，b0).注意不等式成立的条件及等号成立的条件.2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.7.5不等式的综合应用典例精析题型一含参
23、数的不等式问题【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围.【解析】由x2x20有x1或x2，由2x2(52k)x5k0有(2x5)(xk)0.因为2是原不等式组的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有xk.因为原不等式组的整数解只有2，所以2k3，即3k2，故k的取值范围是3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(1)na2对任意nN*恒成立，求实数a的取值范围.【解析】当n为奇数时，a2，即a(2).而(2)2，则a2；当n为偶数时，a2，而22，所以a.综上可得2a.【点拨】不等式中出现了(1)n的时候，常常
24、分n为奇数和偶数进行分类讨论.题型二不等式在函数中的应用【例2】已知函数f(x)在区间1,1上是增函数.(1)求实数a的值组成的集合A；(2)设x1，x2是关于x的方程f(x)的两个相异实根，若对任意aA及t1,1，不等式m2tm1|x1x2|恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)，因为f(x)在1,1上是增函数，所以当x1,1时，f(x)0恒成立，令(x)x2ax2，即x2ax20恒成立.所以Aa|1a1.(2)由f(x)得x2ax20.设x1，x2是方程x2ax20的两个根，所以x1x2a，x1x22.从而|x1x2|，因为a1,1，所以3，即|x1x2|max3.不等式对任意
25、aA及t1,1不等式恒成立，即m2tm20恒成立.设g(t)m2tm2mtm22，则解得m2或m2.故m的取值范围是(，22，).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a，b0，且ab1，不等式恒成立，则的取值范围是.【解析】1，).因为ab1，所以1，所以1.题型三不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平
26、均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t，y灭火劳务津贴车辆、器械装备费森林损失费125xt100x60(500100t)125x100x30 000100(x2)31 450231 45036 450，当且仅当100(x2)，即x27时，y有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽
27、象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为，因为操场周长为400，所以2x2400，即2xy400(0x200,0y)，所以Sxy(2x)(y)2，由解得所以当且仅当时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m和m时，矩形区域面积最大.总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.- 13 - 版权所有高考资源网