1、第十二章 统计与统计案例第二讲变量间的相关关系与统计案例练好题考点自测1.2020全国卷,5分某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,20)得到如图12-2-1所示的散点图:图12-2-1由此散点图,在10 至40 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+bln x2.2017山东,5分为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测
2、量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+,已知xi=225,yi=1 600,=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.1703.2021四省八校联考具有线性相关关系的两个变量x,y的取值如表,x12345y5tm1012其回归直线=x+经过点(3,8)的一个充分不必要条件是()A.t+m=13B.t=m=6C.t=m=7 D.t=6,m=74.2021湖南模拟通过随机询问100名大学生是否爱好踢毽子,得到如下列联表:男女总计爱好104050不爱好203050总计3070100附:P(K2k0)0.100.050.025
3、0.010k02.7063.8415.0246.635K2=,其中n=a+b+c+d.下列结论正确的是()A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好踢毽子与性别有关”B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好踢毽子与性别无关”C.有97.5%以上的把握认为“爱好踢毽子与性别有关”D.有97.5%以上的把握认为“爱好踢毽子与性别无关”5.多选题下列四个命题说法正确的是()A.在回归分析中,R2可以用来刻画回归效果,R2的值越大,模型的拟合效果越好B.在独立性检验中,随机变量K2的值越大,说明两个分类变量有关系的可能性越大C.在回归方程=0.2x+12中,当解释变量x每增加1个单位时,
4、预报变量平均增加1个单位D.两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于1拓展变式1.某芯片公司为制订下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量xi(单位:亿元)对年销售额yi(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:y=+x2,y=ex+t,其中,t均为常数,e为自然对数的底数.现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,i=1,2,12,并对这些数据作了初步处理,得到了如图12-2-3所示的散点图及一些统计量的值.图12-2-3令ui=x2,vi=ln yi(i=1,2,12),经计算得如下数据:(xi-)2(yi-)220667
5、702004604.20(ui-)2(ui-)(yi-)(vi-)2(xi-)(vi-)3 125 00021 5000.30814(1)设ui和yi的相关系数为r1,xi和vi的相关系数为r2,请从相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型.(2)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:相关系数r=,回归直线=+x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= ,=-;参考数据:308=477,9.486 8,e4.499 890.2.2020山东,12分为加强环境保护,治理空气污染,环境监
6、测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:g/m3),得下表: SO2PM2.5 0,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的22列联表:SO2PM2.5 0,150(150,4750,75(75,115(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:K2=,P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.6351
7、0.8283.在红外线照射下,组织温度升高,毛细血管扩张,血流加快,物质代谢增强,组织细胞活力及再生能力提高,因此红外线治疗仪对某些疾病的治疗有着很好的作用.某药店兼营某红外线治疗仪,经过近5个月的营销,对销售状况进行相关数据分析,发现月销售量与销售价格有关,统计数据如下表:每台红外线治疗仪的销售价格x/元140150160170180红外线治疗仪的月销售量y/台6455453526(1)根据表中数据求y关于x的线性回归方程.(2)(i)每台红外线治疗仪的价格为165元时,预测红外线治疗仪的月销售量;(四舍五入为整数)(ii)若该红外线治疗仪的成本为120元/台,要使每月获得最大的纯收益,利用
8、(1)中结论,问每台红外线治疗仪的销售价格应定为多少?(四舍五入,精确到1元)参考公式:回归直线方程=x+,其中=,=-.答 案第二讲变量间的相关关系与统计案例1.D根据题中散点图可知,散点图中点的分布形状与对数函数的图象类似,故选D.2.C由题意可知=4x+,又=22.5,=160,因此160=22.54+,故=70,因此=4x+70.当x=24时,=424+70=96+70=166.故选C.3.D由表格数据,得 =3,=.因为回归直线 =x+必经过样本点的中心(,)(求回归直线方程的关键是抓住样本点的中心在回归直线上),且回归直线经过点(3,8),所以点(3,8)为回归直线 =x+样本点的
9、中心(题眼),所以=8,所以t+m=13,结合选项,知t=6,m=7是回归直线 =x+经过点(3,8)的一个充分不必要条件(要求充分不必要条件而非充分条件,注意看题),故选D.4.A由题意得K2的观测值k=4.7623.841,可得在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好踢毽子与性别有关”,所以A正确,故选A.5.AB由R2与K2的公式及性质可知,AB正确;在回归方程=0.2x+12中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位,C错误;两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1,D错误.故选AB.1.(1)由题意,r1=0.86,r2=0.91,则|r1|6.6
10、35,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 3.(1)=160,=45,(xi-)2=(140-160)2+(150-160)2+(160-160)2+(170-160)2+(180-160)2=1 000,(xi-)(yi-)=-2019-1010+00-1010-2019=-960,b=-0.96,=-b=45+0.96160=198.6,y关于x的回归方程为=-0.96x+198.6.(2)(i)由(1)知,当x=165时,=-0.96165+198.6=40.240,即每台红外线治疗仪的价格为165元时,红外线治疗仪的月销售量为40台.(ii)药店每月获得的纯收益Q(x)=(-0.96x+198.6)(x-120)=-0.96x2+313.8x-23 832,当x=163时,Q(x)取得最大值,即要使每月获得最大的纯收益,每台红外线治疗仪的销售价格应定为163元.