1、2.2.1直线的点斜式方程 知识要点要点一直线的点斜式方程1定义：如图所示，直线 l 过定点 P(x0，y0)，斜率为 k，则把方程_叫做直线 l 的点斜式方程，简称点斜式yy0k(xx0)2说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90的直线没有点斜式，其方程为xx00，或_xx0方法技巧关于点斜式的几点说明直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点 P(x0，y0)和斜率 k；斜率必须存在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程方程 y y0k(x x0)与方程 ky y0 x x0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点 P(x0，y0)的一条直线当 k 取任意实数时，方程 y y
2、0k(x x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线如果直线l过点P0(x0，y0)且平行于x轴(或与x轴重合)，这时倾斜角为0，tan 0 0，即k0，由点斜式得yy0，如图甲所示如果直线过点P0(x0，y0)且与x轴垂直，此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为xx0，如图乙所示要点二 直线的斜截式方程1定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程_叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式2说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的_倾斜角是_的直线没有斜截式方程ykxb截距直角方法技巧斜截式方程和截距的几点说
3、明：方程 ykx b 的特点左端 y 的系数恒为 1，右端 x 的系数 k 和常数项 b 均有明显的几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距直线方程的斜截式是由点斜式推导而来的直线与 y 轴的交点(0，b)的纵坐标 b 称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为 0，不能将其理解为“距离”就恒为正同理，直线与 x 轴的交点(a,0)的横坐标 a 称为此直线的横截距不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线 x1 没有纵截距，直线 y2 没有横截距直线方程的斜截式ykx b，当k0时就是一次函数的标准形式由直线方程的斜截式反过来可得到直线的斜率
4、和纵截距，如直线y2x 1的斜率为k2，纵截距为1.基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式()(2)当直线l的倾斜角为0时，过点P0(x0，y0)的直线l的方程为yy0.()(3)直线在y轴上的截距就是直线与y轴交点到原点的距离()(4)直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，若l1l2则k1k21.()2过点P(2,0)，斜率为3的直线的方程是()Ay3x2 By3x2Cy3(x2)Dy3(x2)解析：由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y03(x2)，即y3(x2)，故选D.答案：D3倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()
5、Ayx1 Byx1Cyx1 Dyx1解析：由题意知，直线的斜率k1，又在y轴上截距为1，故直线方程为yx1，故选D.答案：D4(多填题)已知直线l1：yax，l2：y2x1，若l1l2，则a_；若l1l2，则a_.解析：若l1l2，则a2；若l1l2，则a21，a12.答案：2，12.题型一求直线的点斜式方程例 1求满足下列条件的直线的点斜式方程(1)过点 P(4,3)，斜率 k3；(2)过点 P(3，4)，且与 x 轴平行；(3)过 P(2,3)，Q(5，4)两点解析：(1)直线过点P(4,3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4)(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线
6、方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40.(3)过点P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ 4352771.又直线过点P(2,3)，直线的点斜式方程为y3(x2)方法技巧求直线的点斜式方程的方法步骤1求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率 k写出方程 yy0k(xx0)2点斜式方程 yy0k(xx0)可表示过点 P(x0，y0)的所有直线，但 xx0 除外变式训练 1(1)过点(1,2)，且倾斜角为 135的直线方程为_(2)已知直线 l 过点 A(2,1)且与直线 y14x3 垂直，则直线l 的方程为_解析：(1)ktan 1351，由直线的点斜式方程得y2(
7、x1)，即xy10.(2)方程y14x3可化为y14(x34)，由点斜式方程知其斜率k4.又因为l与直线y14x3垂直，所以直线l的斜率为 14.又因为l过点A(2,1)，所以直线l的方程为y114(x2)，即x4y60.答案：(1)xy10(2)x4y60题型二求直线的斜截式方程1根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5；(2)倾斜角为 150，在 y 轴上的截距是2；(3)倾斜角为 60，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.解析：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为 y2x5.(2)倾斜角150，斜率 ktan 150 33，由斜截式可得方程为
8、 y 33 x2.(3)直线的倾斜角为 60，其斜率 ktan 60 3，直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3，直线在 y 轴上的截距 b3 或 b3.所求直线方程为 y 3x3 或 y 3x3.2斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m_时，直线过点(1,1)解析：由直线方程的斜截式，得直线方程为y2xm.直线过点(1,1)，将x1，y1代入方程y2xm,121m，m1即为所求答案：1方法技巧直线的斜截式方程的求解策略1用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别2直线的斜截式方程 ykxb 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在
9、y 轴上的截距，只要确定了 k 和 b 的值，直线的图象就一目了然因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用 k，b 的几何意义进行判断题型三两直线平行与垂直的应用例 2(1)当 a 为何值时，直线 l1：yx2a 与直线 l2：y(a22)x2 平行？(2)当 a 为何值时，直线 l1：y(2a1)x3 与直线 l2：y4x3 垂直？解析：(1)由题意可知：kl11，kl2a22.l1l2，a221，2a2，解得 a1.故当 a1 时，直线 l1：yx2a 与直线 l2：y(a22)x2 平行(2)由题意可知，kl12a1，kl24，l1l2，4(2a1)1，解得 a
10、38.故当 a38时，直线 l1：y(2a1)x3 与直线 l2：y4x3 垂直方法技巧1两条直线平行和垂直的判定：已知直线 l1：yk1xb1 与直线 l2：yk2xb2，(1)若 l1l2，则 k1k2，此时两直线与 y 轴的交点不同，即 b1b2；反之 k1k2，且 b1b2 时，l1l2.所以有 l1l2k1k2，且 b1b2.(2)若 l1l2，则 k1k21；反之 k1k21 时，l1l2.所以有l1l2k1k21.2若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑 b1b2 这个条件变式训练 2判断下列两条直线平行还是垂直(1)l1：y
11、23(x1)，l2：y3x；(2)l1：y6x1，l2：y16x1；(3)l1：x30，l2：x20.解析：(1)直线 l1 的方程化为 y3x5，则直线 l1 的斜率 k13，直线 l1 在 y 轴上的截距 b15，直线 l2 的方程为 y3x，则直线 l2的斜率 k23，直线 l2 在 y 轴上的截距 b20，于是 k1k2，b1b2，故 l1l2.(2)直线 l1 的斜截式方程为 y6x1，则直线 l1 的斜率 k16，直线 l2 的斜截式方程为 y16x1，则直线 l2 的斜率 k216，于是 k1k26(16)1，故 l1l2.(3)l1 是过(3,0)且垂直于 x 轴的直线，l2 是过(2,0)且垂直于 x轴的直线，故 l1l2.易错辨析忽视倾斜角的范围出错例 3一条直线 l 过点(2,1)且与 x 轴的夹角为 45，则这条直线方程为_解析：直线 l 与 x 轴的夹角为 45，直线 l 的倾斜角45或 135.直线 l 的斜率 k1 或1.直线 l 的方程为：y1x2 或 y1(x2)即 yx1 或 yx3.答案：yx1 或 yx3【易错提醒】易错原因纠错心得误认为夹角就是直线 l 的倾斜角，导致漏掉了倾斜角为 135的情形.在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解.谢谢 观 看
