1、考点24 简单的线性规划【考纲要求】1掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)2理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合【命题规律】 简单的线性规划是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，有时会出现解答题中于其他知识结合考查.【典型高考试题变式】（一）求目标函数的最值例1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（ ）A0 B1 C2 D3【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应
2、的封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围【变式1】【改变结论】设x，y满足约束条件则z=x+y的最小值为（ ）A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最小值，故，故选B 【变式2】【改变条件】变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是()A B4 C2 D6【答案】B （二）非线性目标函数的最值例2.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（ ）A.4 B.9 C.10 D.
3、12【解析】画出可行域如图所示，点到原点距离最大，所以，选C.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.【变式1】【改变结论】已知函数，满足，则的最小值为 .【答案】【变式2】【改变条件】变量x、y满足则zx2y2的取值范围为 【答案】【解析】由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得.由解得C(1,1)由解得B(5,2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点
4、到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|. 所以2z29.（四）线性规划的实际运用例3.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么目标函数.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组
5、表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时,.故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.【变式1】小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱那么最多可以买的科普书与文具的总数是 .【答案】
6、37【变式2】某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示：甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t)94360电(kwh)45200劳力(个)310300利润(万元)612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？【解析】设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z6x12y.如图，作出可行域，作直线l：6x12y0，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z6x12y取最大值.解方程组得M(20，24).所以生产
7、甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润.【数学思想】数形结合思想:借助可行域图象，求目标函数的最值分类讨论思想:画函数图象时，要对参数进行讨论转化与化归思想.【温馨提示】画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为axbyc0(a0)；线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有求zaxby(ab0)的最值方法将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(1)当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；(2)当b0时，截距取最大值
8、时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值【典例试题演练】1.【2017河北省衡水中学高三摸底联考】 若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】在直角坐标系中作出区域A，当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域为下图中的四边形，所以其面积为，故选D.2.【2018届浙江省名校协作体考试】若变量， 满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出可行域如图阴影部分： 由 得 平移直线 ，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即 ，此时最大值 ，故选A.3.【2018
9、届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考】设实数满足不等式组，则的最大值为（ ）A. B. C. 12 D. 0【答案】C4.设动点P(x，y)在区域：上，过点P任作直线l，设直线l与区域的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为()A B2 C3 D4【答案】D【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值，故选D.5.【2017浙江省杭州市名校协作体月考】变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】试题分析：作出题设约束条件表示的可行域如图内部（含边界），联立，解得，化目
10、标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得m=1故选C6.【2017浙江省ZDB联盟一模】已知满足条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）A. 1或-2 B. 1或 C. -1或-2 D. -2或【答案】A7.【2017湖北武汉市蔡甸区汉阳一中模拟】已知，给出下列四个命题： 其中真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,所以直线过点A时取最小值； 过点A时取最大值；斜率最大值为，到原点距离的平方的最小值为，因此选D.8.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，15】若，满足约束条件，则的最小值为
11、（ ）A. B. C. D. 【答案】B9.【江西省六校2018届高三上学期第五次联考】如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.10.【黑龙江省大庆实验中学2017届高三考前】已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_.【答案】11.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，13】若满足约束条件，那么的最大值是_.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示因为表示平面区域上的点到原点连线的斜率，由图知当点位于点时，斜率最大，所以的最大值为
12、212.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，14】已知不等式组则的最大值为 【答案】3【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中表示两点PM连线斜率，其中其最大值为13.【江西南昌市2017届摸底考试，15】已知满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是 .【答案】【解析】由题意得可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过C点时取最大值，过B点时取最小值，因此.14. 给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线【答案】6【解析】解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0Z，说明x0，y0是整数，
13、作出图形可知，ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线15. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元（1）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】（1）依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润w5x6y3(100xy)2x3y300.（2）约束条件为整理得13