1、 上海市崇明区2021届第一次高考模拟考试数学试卷2020.12.11 时间：120分钟；满分：150分一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设集合，集合，则 2. 不等式的解集是 3. 已知复数满足（是虚数单位），则 4. 设函数的反函数为，则 5. 点到直线的距离是 6. 计算： 7. 若关于、的方程组无解，则实数 8. 用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示）9. 若的二项展开式中有一项为，则 10. 设为坐标原点，直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于、两点，若的面积为1，则双曲线的焦距的最小值为
2、 11. 已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，则 12. 已知点为圆的弦的中点，点的坐标为，且，则的最大值为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 14. 正方体上点、是其所在棱的中点，则直线与异面的图形是（ ）A. B. C. D. 15. 设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件16. 设函数的定义域是，对于下列四个命题：（1）若函数是奇函数，则函数是奇函数；（2）若函数是周期函数，则函数是周期函数；（3）若函
3、数是单调减函数，则函数是单调减函数；（4）若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点；其中正确的命题共有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知平面，直线与平面所成的角为30，且.（1）求三棱锥的体积；（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角、的对边分别为、，若锐角满足，求的面积.19. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数
4、图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20. 已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为.（1）若点的坐标为，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程；（3）求证：直线过定点.21. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.（1）若数列1，2，8是数列，求实数的取值范围；（2）设数列，是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值
5、范围；（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为、，求证：当且时，数列不是数列.上海市崇明区2021届第一次高考模拟考试数学试卷(教师解析版）2020.12.11一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设集合，集合，则 【答案】2. 不等式的解集是 【答案】3. 已知复数满足（是虚数单位），则 【解析】因为，所以，所以.4. 设函数的反函数为，则 【解析】在中，令，得，所以.5. 点到直线的距离是 【解析】由点到直线的距离公式得.6. 计算： 【解析】.7. 若关于、的方程组无解
6、，则实数 【解析】由题意得，所以， 经检验满足题意，所以.8. 用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示）【解析】先挑个位，有种；再挑百位，有种；最后挑十位，有种； 故奇数的个数为个.9. 若的二项展开式中有一项为，则 【解析】展开式的通项为，令，解得，所以.10. 设为坐标原点，直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于、两点，若的面积为1，则双曲线的焦距的最小值为 【解析】双曲线的渐近线为，所以， 因为的面积为1，所以，即， 因为，所以， 即双曲线的焦距的最小值为.11. 已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，则 【解析】因为对任意，都有为常数
7、，所以，从而，即的周期为4， 所以.12. 已知点为圆的弦的中点，点的坐标为，且，则的最大值为 【解析】设，则 ，因为，所以， 整理得，即为点的轨迹方程，所以，故的最大值为2.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若，则下列不等式恒成立的是（ D ）A. B. C. D. 14. 正方体上点、是其所在棱的中点，则直线与异面的图形是（ B ）A. B. C. D. 、15. 设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递增数列”的（ C ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【解析】对任意的，必有，即，所以为递增数列； 反之，若为递增数
8、列，则，故为充要条件，故选C.16. 设函数的定义域是，对于下列四个命题：（1）若函数是奇函数，则函数是奇函数；（2）若函数是周期函数，则函数是周期函数；（3）若函数是单调减函数，则函数是单调减函数；（4）若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点；其中正确的命题共有（ B ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【解析】若是奇函数，则，也是奇函数，正确；若是周期函数，则，也是周期函数，正确；若是单调递减函数，则根据复合函数的性质，是单调递增函数，不正确；函数、反函数的图像与直线可以没有交点，可以只有唯一交点，也可以有若干个、甚至无穷多个公共点；函数与反函数的图像在直线之外也可能有
9、交点，函数与其反函数确实有三个交点，分别是：,其中只有一个交点是在直线上.这里是个近似数，它的准确值是个超越数，即无法用有理数的分数指数幂表示的无理数，不正确；故选D.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知平面，直线与平面所成的角为30，且.（1）求三棱锥的体积；（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）【解析】（1）因为平面，所以就是与平面所成的角， 即，所以，所以； （2）取中点，连结，则， 所以就是异面直线与所成的角（或其补角），在中，所以，即， 所以异面直线与所成的角为.18. 已知函数.（1）求函数的最小正
10、周期；（2）在中，角、的对边分别为、，若锐角满足，求的面积.【解析】（1） ，所以最小正周期；（2）因为，所以， 又为锐角，所以，所以，所以，又，由正弦定理得，解得， 而， 所以的面积.19. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【解析】（1）当时，设， 因为，所以， 所以， 当时， 由，解得，所以， 综上
11、，；（2）当时，令，得， 当时，令，得，所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.20. 已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为.（1）若点的坐标为，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程；（3）求证：直线过定点.【解析】（1）因为，所以直线的方程为， 令，得，所以；（2）因为，所以直线的方程为， 由得，所以， 所以以为直径的圆的方程为， 即； （3）设，因为，直线的方程为， 由得， 由韦达定理得，所以， 所以，同理，直线的方程为， 由得， 由韦达定理得，所以， 所以，由椭圆的对称性知这样的定点在轴上，设为， 则三点共线
12、，所以共线，所以恒成立，整理得恒成立，所以，故直线过定点.21. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.（1）若数列1，2，8是数列，求实数的取值范围；（2）设数列，是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为、，求证：当且时，数列不是数列.【解析】（1）由题意得，所以；（2）由题意得，该数列的前项和为，由数列是数列，得，故公差，对满足的所有都成立，则，解得，所以的取值范围是；（3）若是数列，则， 因为，所以，又由对所有都成立，得恒成立，即恒成立，因为，故，所以， 若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列可知， 若中的每一项都在中，同理可得， 若中至少有一项不在中，且中至少有一项不在中， 设是将中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列， 它们的所有项之和分别为，不妨设中的最大项在中，设为，则，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确.