1、课后限时集训(三十一)正弦定理、余弦定理建议用时：40分钟一、选择题1(2020大连测试)在ABC中，AB2，AC3，B60，则cos C()A B C DD由正弦定理得，sin C.又ABAC，0CB60，cos C.故选D2(2020南昌模拟)在ABC中，已知C，b4，ABC的面积为2，则c()A2 B2 C2 DB由Sabsin C2a2，解得a2.由余弦定理得c2a2b22abcos C12，故c2.3对于ABC，有如下命题，其中正确的是()A若sin 2Asin 2B，则ABC为等腰三角形B若sin Acos B，则ABC为直角三角形C若sin2Asin2Bcos2C1，则ABC为钝
2、角三角形D若AB，AC1，B30，则ABC的面积为C对于A项，sin 2Asin 2B，AB或2A2B，即AB，ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B项，sin Acos B，AB或AB，ABC不一定是直角三角形，故B错误；对于C项，sin2Asin2B1cos2Csin2C，a2b2c2，ABC为钝角三角形，C正确；对于D项，由正弦定理，得sin C，且ABAC，C60或C120，A90或A30，SABCACABsin A或，D不正确故选C4(2020全国卷)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B()A B C DA由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C1
3、692439，AB3，所以cos B，故选A5(2020毕节模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，ABC的周长为5，(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C，则ABC的面积为()A B C DC由题意可得：a，ABC的周长为5，可得bc5，因为(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C，由正弦定理及余弦定理可得：b2c2a2bc2bccos A，因为A(0，)，所以cos A，A，a2(bc)22bc2bccos A，所以10252bcbc，所以bc5，所以SABCbcsin A5，故选C6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
4、asin2Bbcos Acos B，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定B由asin2Bbcos Acos B得sin Asin2Bsin Bcos Acos B，即sin B(cos Acos Bsin Asin B)0，即sin Bcos(AB)0，sin B0，cos(AB)0，又0AB，AB，故选B二、填空题7在ABC中，A，ac，则 .1由ac得sin Asin C，即sin sin C，sin C，又0C，C，从而B，bc，因此1.8(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B .bsin Aa
5、cos B0，.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1.又B(0，)，B.9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为 1b2，B，C，由正弦定理，得c2，A，sin Asinsin cos cos sin .则SABCbcsin A221.三、解答题10(2019北京高考)在ABC中，a3，bc2，cos B.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值解(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b232c223c.因为bc2，所以(c2)232c223c.解得c5.所以b7.(2)由cos B得sin B.由正弦定理得sin Csin
6、 B.在ABC中，B是钝角，所以C为锐角所以cos C.所以sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.11(2020全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos A.(1)求A；(2)若bca，证明：ABC是直角三角形解(1)由已知得sin2Acos A，即cos2Acos A0.所以20，cos A.由于0A，故A.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin Bsin Csin A由(1)知BC，所以sin Bsinsin .即sin Bcos B，sin.由于0B，故B.从而ABC是直角三角形1已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
7、，ABC的外接圆的面积为3，且cos2Acos2Bcos2C1sin Asin C，则ABC的最大边长为()A2 B3 C D2C由cos2Acos2Bcos2C1sin Asin C得1sin2A1sin2B1sin2C1sin Asin C，即sin2Asin2Bsin2Csin Asin C，由正弦定理得b2a2c2ac，即c2a2b2ac，则cos B，则B150，即最大值的边为b，ABC的外接圆的面积为3，设外接圆的半径为R，R23，得R，则2R2，即b2sin B2，故选C2(2020广西桂林模拟)在ABC中，若，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等
8、腰三角形或直角三角形D由已知，所以或0，即C90或，由正弦定理，得sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B，因为B，C均为ABC的内角，所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，cos A，又0A，A.由sin Asin Bcos2，得sin B，即sin B1cos C，则cos C
9、0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin1cos C，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，在ACM中，由余弦定理得AM2b22bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C22.1已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2Acos2Bcos2C1sin Asin C，且sin Asin C1，则ABC的形状为()A等边三角形B等腰直角三角形C顶角为150的等腰三角形D顶角为120的等腰三角形Dcos2Acos2Bcos2C1sin Asin C，(1sin2A)(1sin2B)(1sin2C)1sin Asin C，可得sin2Asin2
10、Csin2Bsin Asin C，根据正弦定理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，B(0，180)，B120，sin2Bsin2Asin2Csin Asin C变形得(sin Asin C)2sin Asin C，又sin Asin C1，得sin Asin C，上述两式联立得sin Asin C，0A60，0C60，AC30，ABC是顶角为120的等腰三角形，故选D2结构不良试题(2020北京高考)在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.解选条件：c7，cos A，且ab11.(1)在ABC中，由余弦定理，得cos A，解得a8.(2)cos A，A(0，)，sin A.在ABC中，由正弦定理，得，sin C.ab11，a8，b3，SABCabsin C836.若选条件：cos A，cos B，且ab11.(1)A(0，)，B(0，)，cos A，cos B，sin A，sin B.在ABC中，由正弦定理，可得，.又ab11，a6，b5.(2)sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.SABCabsin C65.