1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第5节 直线、平面垂直的判定与性质第六章 立体几何最新考纲核心素养考情聚焦1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1.垂直关系的基本问题，达成直观想象、逻辑推理的素养2.直线与平面垂直的判定与性质及平面与平面垂直的判定与性质的理解与运用，增强直观想象、逻辑推理和数学抽象的素养3.线面角与二面角的求解，提升逻辑推理和数学运算的素养 2020年高考证明垂直的题型预计有两类：1.线面垂直的判定与证明2.利用线面垂直性质证明线面垂直或面面垂直是高考重
2、点考查内容，主要以解答题形式出现，属中低档题型3.证明垂直问题可以用常规法证明，也可以通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线 l 与平面 内的 任意 直线都垂直，就说直线 l与平面 互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直 la lb abO a b l性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行 a b ab2.直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成
3、的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 0角因此，直线与平面所成的角的范围是 0，2 .3二面角(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：如下图，在二面角 l 的棱 l 上任取一点 P，以点 P 为垂足，在半平面，内分别作垂直于棱 l 的射线 PA和 PB，则射线 PA 和 PB 构成的APB 叫做二面角 l 的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度我们约定，二面角的取值范围是 0，.平面角是直角的二面角叫做直二面角(3)找二面角的平面角的方法垂面法：由二面角的平面角的定义知，只
4、需作与棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线，然后平移到一起，两射线的夹角即二面角的平面角4平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条 垂线，则这两个平面互相垂直 l l 性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们 交线 的直线垂直于另一个平面 a la l l1.若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线2若两条平行线中的一条垂直于一个平
5、面，则另一条也垂直于这个平面3垂直于同一条直线的两个平面平行4过一点有且只有一条直线与已知平面垂直5过一点有且只有一个平面与已知直线垂直思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)l 与平面 内的两条直线垂直，则直线 l平面.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行()(4)当 时，直线 l 过 内一点且与交线垂直，则 l.()(5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1设，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m
6、()A若 l，则 B若，则 lmC若 l，则 D若，则 lm解析：A 选项 A，l，l，A 正确；选项 B，l，m，l 与 m 的位置关系不确定，B 错误；选项 C，l，l，或 与 相交，C 错误；选项 D，l，m，此时，l 与 m 的位置关系不确定，D 错误故选 A.2(2017全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1DA1EAC解析：C 根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那么也垂直于斜线在平面内的射影，A.若 A 1ED C 1，那么 D 1ED C 1，很显然不成立；B.若 A 1EBD，那么 BD
7、A E，显然不成立；C.若A 1EBC 1，那么 BC 1B 1C，成立，反过来 BC 1B 1C 时，也能推出BC 1A 1E，所以 C 成立，D.若 A 1EA C，则 A EA C，显然不成立，故选 C.3.已知如图，六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面ABC.则下列结论不正确的是()ACD平面 PAFBDF平面 PAFCCF平面 PABDCF平面 PAD解析：D A 中，因为 CDAF，AF平面 PAF，CD平面 PAF，所以 CD平面 PAF 成立；B 中，因为 ABCDEF 为正六边形，所以DFAF.又因为 PA平面 ABCDEF，所以 PADF，又因为 PAAFA，
8、所以 DF平面 PAF 成立；C 中，因为 CFAB，AB平面 PAB，CF平面 PAB，所以 CF平面 PAB；而 D 中 CF 与 AD 不垂直4人教 A 版教材 P67T2 改编在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.(1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的 _ 心；(2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的 _ 心解析：(1)如图，连接 OA，OB，OC，OP，在 RtPOA，RtPOB和 RtPOC 中，PAPCPB，所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心(2)如图，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D
9、，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面 PAB，又 AB平面 PAB，PCAB，ABPO，POPCP，AB平面 PGC，又 CG平面 PGC，ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 上的高同理可证 BD，AH分别为ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为ABC 的垂心答案：(1)外(2)垂5 将 正 方 形 ABCD 沿 AC 折 成 直 二 面 角 后，DAB _.解析：如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，BD，则 DOAC，BOAC，故DOB 为二面角的平面角，从而DOB90.设正方形边长为 1，则 DOBO 22，所以 DB1，故ADB 为等边三角形，所以DAB60.
10、答案：60考点一 垂直关系的基本问题(自主练透)题组集训1(2019银川市模拟)，是两个平面，m，n 是两条直线，则下列命题中错误的是()A如果 mn，m，n，那么 B如果 m，那么 mC如果 l，m，m，那么 mlD如果 mn，n，m，那么 解析：D 由，是两个平面，m，n 是两条直线，可知：在 A中，如果 mn，m，n，那么由面面垂直的判定定理得，故 A 正确；在 B 中，如果 m，那么由面面平行的性质定理得 m，故 B 正确；在 C 中，如果 l，m，m，那么由线面平行的性质定理得 ml，故 C 正确；在 D 中，如果 mn，n，m，那么 与 相交或平行，故 D 错误故选 D.2(201
11、9泰安一模)已知 m，n 是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是()A若 m，n，则 mnB若，则 C若 m，m，则 D若 m，n，则 mn解析：D A、m，n 平行于同一个平面，故 m，n 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故 A 错误；B、，垂直于同一个平面，故，可能相交，可能平行，故 B 错误；C、，平行与同一条直线 m，故，可能相交，可能平行，故 C 错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故 D 正确故选 D.3(2016全国卷)，是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么.如果 m，n，那么 mn.如果，m，那么 m.如果 mn，那么
12、 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题是 _(填序号)解析：如果 mn，m，n，那么，故错误；如果 n，则存在直线 l，使 nl，由 m，可得 ml，那么 mn.故正确；如果，m，那么 m 与 无公共点，则m.故正确；如果 mn，那么 m，n 与 所成的角和 m，n 与 所成的角均相等故正确答案：解决垂直关系的基本问题要注意(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图在头脑中形成印象来判断(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明考点二 直线与平面垂直的判定与性质
13、(师生共研)典例(2019全国卷)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA1E，AB3，求四棱锥 EBB1C1C 的体积解(1)由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故B1C1BE.又 BEEC1，所以 BE平面 EB1C1.(2)由(1)知BEB190，由题设知 RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故 AEAB3，AA12AE6.作 EFBB1，垂足为 F，则 EF平面BB1C1C，且 EFAB3.所以，四棱锥 EBB1C1C 的体积 V1
14、336318.1证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性 ab，ab；面面平行的性质：a，a；面面垂直的性质，a，la，ll.2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想跟踪训练(2017高考全国卷)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD 是直角三角形，ABBD，若 E 为棱 BD 上与 D不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比解析：(1)证明：取 AC 中点 O，连 OD，OB.ADCD，O 为A
15、C 中点，ACOD.又ABC 是等边三角形，ACOB.又OBODO，AC平面 OBD，BD平面 OBD，ACBD.(2)设 ADCD2，AC2 2，ABCB2 2.又ABBD，BD2 2，ABDCBD，AEEC.又AEEC，AC2 2，AEEC2.在 ABD 中，设 DE x，根 据 余 弦 定 理 cos ADB AD2BD2AB22ADBDAD2DE2AE22ADDE222 222 22222 222x22222x，解得 x 2，点 E 是 BD 的中点，则 VDACEVBACE，VDACEVBACE1.考点三 平面与平面垂直的判定与性质(师生共研)典例(2018全国卷)如图，矩形 ABC
16、D 所在平面与半圆弧C D 所在平面垂直，M 是 C D 上异于 C，D 的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由直观想象、逻辑推理立体几何证明中体现的核心素养以常见的空间几何体为载体，以空间点、线、面的位置关系为基础，以相应的概念、定理、性质、法则为出发点，借助几何直观和空间想象，通过逻辑思维和逻辑推理，正确解决立体几何中的证明问题具体见下表：信息提取信息解读逻辑推理矩形 ABCD半圆面 CMDADCD着眼点 1：由面面垂直推出线面垂直，进而推出线线垂直：AD平面MCNADCMM 是半圆弧CD 上异于 C，D 的点CMD
17、90着眼点2：由直角的概念推出线线垂直：CMD90CMMD.着眼点 3：由线线垂直推出线面垂直，进而推出面面垂直：CMADCMMD CM平面 AMD平面 AMD平面 BMC在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD猜想点P 为 AM的中点.着眼点 4:转化为证明线线平行：连接 BD，AC 交于点 O，证明 OPMC证明：(1)由已知，BC平面 DMC，BCMC，ADBC，ADMC.又 DC 为半圆的直径，MCMD，又 ADMDD.MC平面 AMD，MC平面 BMC.平面 AMD平面 BMC.(2)当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：连接 AC 交 BD 于 O，
18、因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点，连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MCOP.又MC平面 PBD，OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.1掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明2已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面跟踪训练(2019全国卷)图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中
19、 AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2.(1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面BCGE；(2)求图 2 中的四边形 ACGD 的面积解：(1)由已知得 ADBE，CGBE，所以 ADCG，故 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面，由已知得 ABBE，ABBC，故 AB平面 BCGE.又因为 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCGE.(2)取 CG 的中点 M，连接 EM，DM.因为 ABDE，AB平面 BCGE，所以 DE平面 BCGE，故 DECG，由已知，四边形 BCGE 是菱形，且EBC60得 EMCG，故CG平面 DEM.因此 DMCG，在 RtDEM 中，DE1，EM 3，故 DM2，所以四边形 ACGD 的面积为 4.