1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第4节 数列求和第五章 数列最新考纲核心素养考情聚焦1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法1.公式法求和，达成数学抽象和数学运算素养2.分组转化法求和，发展逻辑推理和数学运算素养3.裂项相消法求和，提升逻辑推理和数学运算素养4.错位相减法求和，增强逻辑推理和数学运算素养本节主要考查：(1)等差数列和等比数列的求和(2)使用裂项法、错位相减法求和(3)根据周期性、奇偶数项的不同的分组求和一般以数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后有时与不等式、函数、最值等问题综合以解答题为主，难度中
2、等或稍难求数列的前 n 项和的方法(1)公式法等差数列的前 n 项和公式Sn na1an2 na1nn12d.等比数列的前 n 项和公式()当 q1 时，Sn na1；()当 q1 时，Sn a11qn1q a1anq1q .(2)分组转化法把数列适当拆分，分为几个等差、等比数列，先分别求和，然后再合并，形如：anbn，其中an是等差数列，bn是等比数列；anfn，n2k1，gn，n2kkN*(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项常见的裂项公式：1nn11n 1n1；1nnk1k1n 1nk；12n12n11212n112n1；1nn1n2121nn11n1n2；
3、1n nk1k(nk n)；设等差数列an的公差为 d，则1anan11d1an 1an1.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广形如：anbn，anbn，其中an是等差数列，bn是等比数列(6)并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一些常见数列的前 n 项和公式(1)12
4、34nnn12；(2)1357(2n1)n2；(3)2462nn2n.思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n21121n1 1n1.()(3)求 Sna2a23a3nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin2 1sin2 2sin2 3sin2 88sin2 8944.5()(5)若 Sn1234(1)n1n，则 S5025()答案：(1)(2)(
5、3)(4)(5)小题查验1等差数列an中，已知公差 d12，且 a1a3a9950，则 a2a4a100()A50 B75 C100 D125解析：B a2a4a100(a1d)(a3d)(a99d)(a1a3a99)50d50501275.2设首项为 1，公比为23的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43anDSn32an解析：D 可以直接利用等比数列的求和公式求解，也可以先求出通项和前 n 项和，再建立关系法一：在等比数列an中，Sna1anq1q 1an2312332an.法二：在等比数列an中，a11，q23，an123n123n1.Sn11
6、23n1233123n312323n1 32an.3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列1anan1 的前 100 项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100解析：A 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.a55，S515，a14d5，5a15512d15，a11，d1，ana1(n1)dn.1anan11nn11n 1n1，数列1anan1 的前 100 项和为 1121213 1100 11011 1101100101.4(人教 A 版教材习题改编)数列 112，314，518，7 116，(2n1)12n，的前 n 项和 Sn
7、的值等于 _.答案：n21 12n5设数列an的通项公式为 an22n1，令 bnnan，则数列bn的前 n 项和 Sn 为 _.解析：由 bnnann22n1 知Sn12223325n22n1，从而 22Sn123225327n22n1，得(122)Sn2232522n1n22n1，即 Sn19(3n1)22n12答案：19(3n1)22n12题组集训1等差数列an的公差为 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则an的前 n 项和 Sn()An(n1)B.n(n1)C.nn12D.nn12解析：A 因为 a2，a4，a8 成等比数列，所以 a24a2a8，所以(a16)2(a12)(a11
8、4)，解得 a12.所以 Snna1nn12dn(n1)故选 A.2若等比数列an满足 a1a410，a2a520，则an的前 n项和 Sn _.解析：由题意 a2a5q(a1a4)，得 20q10，故 q2，代入a1a4a1a1q310，得 9a110，得 a1109.故 Sn109 12n12109(2n1)答案：109(2n1)3(2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设 bnlog2 an，求数列bn的前 n 项和解：(1)设an的公比为 q，由题设得2q24q16，即 q22q80.解得 q2(舍去)或 q4.因此an
9、的通项公式为 an24n122n1.(2)由(1)得 bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前 n 项和为132n1n2.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前 n 项和的数列来求之考点二 分组转化法求和(师生共研)典例(2016天津卷)已知an是等比数列，前 n 项和为 Sn(nN*)，且 1a1 1a2 2a3，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的 nN*，bn 是 log2an 和 log2an1 的等差中项，求数列(1)nb2n的前 2n 项和解析(1)设数列an的公比为 q.由已知，有 1a1 1a1q 2a
10、1q2，解得 q2 或 q1.又由 S6a11q61q 63，知 q1，所以 a112612 63，得 a11.所以 an2n1.(2)由题意，得 bn12(log2anlog2an1)12(log22n1log22n)n12，即bn是首项为12，公差为 1 的等差数列设数列(1)nb2n的前 n 项和为 Tn，则T2n(b21b22)(b23b24)(b22n1b22n)b1b2b3b4b2n1b2n2nb1b2n22n2.分组转化法求和的常见类型(1)若 anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和；(2)通项公式为 anbn，n为奇数，cn，n为偶数的
11、数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；(3)某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论跟踪训练(2016北京卷)已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和解：(1)等比数列bn的公比 qb3b2933，所以 b1b2q 1，b4b3q27.设等差数列an的公差为 d，因为 a1b11，a14b427，所以 113d2
12、7，即 d2，所以 an2n1(nN*)(2)由(1)知，an2n1，bn3n1，因此 cnanbn2n13n1，从而数列cn的前 n 项和Sn13(2n1)133n1n12n1213n13n23n12.考点三 裂项相消法求和(师生共研)典例(2015全国卷)Sn 为数列an的前 n 项和已知 an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和解析(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.可得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由于 an0，可得
13、an1an2.又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由 an2n1 可知bn1anan112n12n31212n112n3.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则Tnb1b2bn121315 1517 12n112n3n32n3.拓展提高 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则1anan11d1an 1an1，1anan2 12d1
14、an 1an2.跟踪训练(2017全国卷)设数列an满足 a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n1 的前 n 项和解：(1)a13a2(2n1)an2n，n2 时，a13a2(2n3)an12(n1)得，(2n1)an2，an22n1，又 n1 时，a12 适合上式，an22n1.(2)设数列an2n1 的前 n 项和为 Sn 由(1)an2n122n12n112n112n1，Sn a13 a25 an2n1 113 1315 12n112n1 112n1 2n2n1.考点四 错位相减法求和(师生共研)典例(2016山东卷)已知数列an的前 n 项和 Sn3
15、n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cnan1n1bn2n.求数列cn的前 n 项和 Tn.思维导引(1)利用 an 与 Sn 的关系先求出数列an的通项公式，再利用 anbnbn1 求出数列bn的通项公式；(2)利用错位相减法求数列cn的前 n 项和 Tn.解析(1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5.当 n1 时，a1S111，符合上式所以 an6n5.设数列bn的公差为 d，由a1b1b2，a2b2b3，即112b1d，172b13d，可解得 b14，d3.所以 bn3n1.(2)由(1)知，cn6n6n13n3n 3(n1)2n
16、1.又 Tnc1c2cn.得 Tn3222323(n1)2n12Tn3223324(n1)2n2两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n234412n12 n12n2 3n2n2.所以 Tn3n2n2.(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式跟踪训练(2019上饶市一模)数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn1 12n，数列bn为等差数列，且 a2(b22)1，a1b112.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列anbn的前 n 项和 Tn.解：(1)a1S111212，n2 时，anSnSn11 12n 1 12n1 12n1 12n 12n，适合 a112，an 12n，由 a1b112得 b11，由 a2(b22)1 得14(b22)1，b22，d1，bn1(n1)1n.(2)anbn n2n，由 Tn12 222 323 n2n，得12Tn 122 223 324n12n n2n1，两式相减，得12Tn12 122 123 12n n2n112112n112 n2n11n22n1，Tn2n22n.