1、高三数学寒假作业2 2012.1.17 班级_学号_姓名_一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 . 2 若复数(为虚数单位，)，若，则复数的虚部为 . 3 若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为 . 4若双曲线焦点为(,0)，渐近线方程为，则此双曲线的标准方程为 5 已知向量 = (sin 55，sin 35)，
2、 = (sin 25，sin 65)，则向量 与 的夹角为 6 已知a，b，c是锐角ABC中A，B，C的对边，若a = 3，b = 4，ABC的面积为3，则c = 7作为对数运算法则：是不正确的.但对一些特殊值是成立的，例如：. 则对于所有使（，）成立的应满足函数表达式为 .窗口12过道345窗口678910111213141516178两游客坐火车旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图，则下列座位号码中符合要求的有 . 48，49 54，55 62，63 75，76 84，85 96，979 已知关于x的不等式 2的解集为P，若1P，则实数a的取值范围为 10已知集
3、合，若点、点满足且，则称点优于. 如果集合中的点满足：不存在中的其它点优于，则所有这样的点构成的集合为 .11若实数、满足，则的取值范围是 . 12已知集合P = x | x = 2n，nN，Q = x | x = 2n，nN，将集合PQ中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an，则数列an的前20项之和S20 = 13记集合，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 .14已知抛物线经过点、与点，其中，设函数在和处取到极值，则的大小关系为 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答应写出必要的文字说明步骤15（本小题共14分）已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点
4、，且.（）若等边三角形边长为6，且，求；（）若，求实数的取值范围. A1B1C1ABCD16（本小题共14分）如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）设是上一点，试确定的位置使平面平面，并说明理由17（本小题共14分）椭圆：的一个焦点，右准线方程（）求椭圆的方程；（）若为右准线上一点，为椭圆的左顶点，连结交椭圆于点，求的取值范围；（）设圆Q：与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆上一点作圆Q的切线、，切点为，求的最大值18（本小题共16分）在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有根.现将它们堆放在一起.（）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数
5、多根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?（）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多根),且不少于七层，共有几种不同的方案?已知每根圆钢的直径为，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？19（本小题共16分）已知函数在上是增函数.（）求实数a的取值范围；（）在（）的结论下，设，求函数的最小值20 （本小题共16分）已知数列，满足，数列的前项和为，. （）求证：数列为等差数列，并求通项； （）求证：； （）求证：当时，高三数学寒假作业2（参考答案） 2012.1.17一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1 06 2 3 1 4
6、5 6 7 . 8 9 1011 12. 343 13 14 二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答应写出必要的文字说明步骤15（本小题共14分）已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且.（）若等边三角形边长为6，且，求；（）若，求实数的取值范围.15、解：（）当时，. 7分（）设等边三角形的边长为，则，12分即，. 又，. 14分A1B1C1ABCD16（本小题共14分）如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）设是上一点，试确定的位置使平面平面，并说明理由16、 解：（）证明：连接与相交于，则为的中点，连结，又为的中点，又平面， 平面4分（），四
7、边形为正方形， 又， 又在直棱柱中,，8分（）当点为的中点时，平面平面，、分别为、的中点，平面，平面，又平面，平面平面14分17（本小题共14分）椭圆：的一个焦点，右准线方程（）求椭圆的方程；（）若为右准线上一点，为椭圆的左顶点，连结交椭圆于点，求的取值范围；（）设圆Q：与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆上一点作圆Q的切线、，切点为，求的最大值17、解：（）由题意得，得，所求椭圆方程为4分（）设点横坐标为，则，的取值范围是 9分（）由题意得，即圆心Q为，设，则，即，易得函数在上单调递减，在上单调递增，时，. 14分18（本小题共16分）在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有根.现将
8、它们堆放在一起.（）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?（）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多根),且不少于七层，共有几种不同的方案?已知每根圆钢的直径为，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？解（）当时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；-4分（）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放层,则从上到下每层圆钢根数是以为首项、1为公差的等差数列，从而，即，因与的奇偶性不同，所以与的奇偶性也不同，且，从而由上述等式得：或或或，所以共有4种方案可供选择。-6分因层数越多，最下层堆放得
9、越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若，则，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400 cm，上下底之长为280 cm和680cm，从而梯形之高为 cm，而，所以符合条件；若，则，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480 cm，上下底之长为160 cm和640cm，从而梯形之高为 cm，显然大于4m，不合条件，舍去；综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地-6分.19（本小题共16分）已知函数在上是增函数.（）求实数a的取值范围；（）在（）的结论下，设，求函数的最小值解：（），在上是增函数，在上恒成立.恒成立，当且仅当时取等号，. 6分（）设，则，.当时，的最小值为，当时，的最小值为.综上所述，当时，的最小值为， 当时，的最小值为 .16分20（本小题共16分）已知数列，满足，数列的前项和为，.（）求证：数列为等差数列，并求通项；（）求证：；（）求证：当时，20、解：（）由，得，代入，得，从而有， 是首项为1，公差为1的等差数列，即.5分 （）， ， . 10分（），.由（2）知，. 16分