1、第3讲圆周运动一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度1匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心2描述匀速圆周运动的物理量定义、意义公式、单位线速度描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)(1)v(2)单位：m/s角速度描述物体绕圆心转动快慢的物理量()(1)(2)单位：rad/s周期物体沿圆周运动一圈的时间(T)(1)T，单位：s(2)f，单位：Hz向心加速度(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)(2)方向指向圆心
2、(1)anr2(2)单位：m/s2深度思考如图1所示为一辆自行车传动装置的结构图图1(1)同一齿轮上到转轴距离不同的各点的线速度、角速度是否相同？(2)两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？角速度是否相同，转速是否相同？答案(1)线速度不同，角速度相同(2)线速度相同，角速度、转速不同二、匀速圆周运动的向心力1作用效果向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小2大小Fmmr2mrmv42mf2r.3方向始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力4来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供三、离心现象1定义：做圆周运动的物体，在所受
3、合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动2本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势3受力特点(如图2)图2当Fmr2时，物体做匀速圆周运动；当F0时，物体沿切线方向飞出；当Fmr2时，物体逐渐远离圆心1判断下列说法是否正确(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动()(2)做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力时，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用()(3)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周的半径方向飞出()(4)火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大()(5)
4、飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态()2(人教版必修2P25第3题改编)如图3所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是()图3A重力、支持力B重力、向心力C重力、支持力、指向圆心的摩擦力D重力、支持力、向心力、摩擦力答案C3(人教版必修2P19第4题改编)图4是自行车传动装置的示意图，其中是半径为r1的大齿轮，是半径为r2的小齿轮，是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为()图4A.B.C.D.答案D4(人教版必修2P25第2题改编)如图5所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定
5、不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是()图5AA球的角速度等于B球的角速度BA球的线速度大于B球的线速度CA球的运动周期小于B球的运动周期DA球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力答案B解析先对小球受力分析，如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力mg和支持力FN的合力，建立如图所示的坐标系，则有：FNsin mgFNcos mr2由得FN，小球A和B受到的支持力FN相等，由牛顿第三定律知，选项D错误由于支持力FN相等，结合式知，A球运动的半径大于B球运动的半径，故A球的角速度小于B球的角速度，A球的运动周期大于B球的运动周期，
6、选项A、C错误又根据FNcos m可知：A球的线速度大于B球的线速度，选项B正确.命题点一圆周运动的分析1圆周运动中的运动学分析(1)对公式vr的理解当r一定时，v与成正比；当一定时，v与r成正比；当v一定时，与r成反比(2)对a2rv的理解在v一定时，a与r成反比；在一定时，a与r成正比2圆周运动中的动力学分析(1)向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力(2)向心力的确定确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心
7、力例1(多选)(2016浙江理综20)如图6所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R90 m的大圆弧和r40 m的小圆弧，直道与弯道相切大、小圆弧圆心O、O距离L100 m赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g10 m/s2，3.14)，则赛车()图6A在绕过小圆弧弯道后加速B在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC在直道上的加速度大小为5.63 m/s2D通过小圆弧弯道的时间为5.58 s绕赛道一圈时间最短答案AB解析在弯
8、道上做匀速圆周运动时，根据径向静摩擦力提供向心力得，kmgm，当弯道半径一定时，在弯道上的最大速率是一定的，且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率，故要想时间最短，可在绕过小圆弧弯道后加速，选项A正确；在大圆弧弯道上的速率为vmR m/s45 m/s，选项B正确；直道的长度为x50 m，在小弯道上的最大速率为：vmr m/s30 m/s，在直道上的加速度大小为a m/s26.50 m/s2，选项C错误；由几何关系可知，小圆弧轨道的长度为，通过小圆弧弯道的时间为t s2.80 s，选项D错误1如图7所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上不考虑空气阻
9、力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()图7AA的速度比B的大BA与B的向心加速度大小相等C悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小答案D解析根据题意可知，座椅A和B的角速度相等，A的转动半径小于B的转动半径，由vr可知，座椅A的线速度比B的小，选项A错误；由ar2可知，座椅A的向心加速度比B的小，选项B错误；座椅受力如图所示，由牛顿第二定律得mgtan mr2，tan ，因座椅A的运动半径较小，故悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误；拉力FT，可判断悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，选项D正确2(多选)如图8所示，两个质量不同
10、的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的()图8A周期相同B线速度的大小相等C角速度的大小相等D向心加速度的大小相等答案AC解析对小球受力分析如图所示，受自身重力mg、绳子拉力FT，合力提供向心力即水平指向圆心，设细线和竖直方向夹角为，小球到悬点的距离为h，则有mgtan manm2htan ，可得向心加速度angtan ，所以向心加速度大小不相等，选项D错；角速度，所以角速度大小相等，选项C对；由于水平面内圆周运动的半径不同，线速度vhtan ，所以线速度大小不同，选项B错，周期T，角速度相等，所以周期相等，选项A对命题点二水平面内圆周运动的临界问题例2如图
11、9所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为m1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：图9(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度为多大？小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动；若要小球刚好离开锥面答案(1) rad/s(2)2 rad/s解析(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，
12、在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan mlsin 解得：即0 rad/s.(2)同理，当细线与竖直方向成60角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan m2lsin 解得：2，即2 rad/s.水平面内圆周运动临界问题的分析技巧1在水平面内做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)2三种临界情况(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相
13、对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT0.3(多选)如图10所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()图10Ab一定比a先开始滑动Ba、b所受的摩擦力始终相等C是b开始滑动的临界角速度D当时，a所受摩擦力的大小为kmg答案AC解析小木块a
14、、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即fm2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：faml，当fakmg时，kmgml，a；对木块b：fbm2l，当fbkmg时，kmgm2l，b，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fam2l，fbm22l，fafb，选项B错误；当时b刚要开始滑动，选项C正确；当时，a没有滑动，则fam2lkmg，选项D错误命题点三竖直面内的圆周运动1竖直面内圆周运动两类模型一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)
15、，称为“杆(管)约束模型”2竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向向下或等于零重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上受力示意图力学特征mgFNmmgFNm临界特征FN0，vmin竖直向上的FNmg，v0过最高点条件vv0速度和弹力关系讨论分析能过最高点时，v，FNmgm，绳、轨道对球产生弹力FN不能过最高点时，v，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动当v0时，FNmg，FN为支持力，沿半径背离圆心当0v时，FNmgm，FN指向圆心
16、并随v的增大而增大例3小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图11所示将两球由静止释放在各自轨迹的最低点()图11AP球的速度一定大于Q球的速度BP球的动能一定小于Q球的动能CP球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力DP球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度P球的质量大于Q球的质量；由静止释放；在各自轨迹的最低点答案C解析小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgLmv2，解得v，因LPLQ，故vPmQ，LP时，小球一定能通过最高点PD当v0时小球一定能通过最高点P，选项C正确；当v0时，由mvmg
17、h得小球能上升的高度hl，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0时整体会发生滑动D当时整体会发生滑动，故A错误，B、C正确；当时，C所受摩擦力沿着半径向里，且没有出现滑动，故在增大的过程中，由于向心力FFTFf不断增大，故B、C间的拉力不断增大，故D正确5.如图5所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OAOBAB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是()图5AOB绳的拉力范围为0mgBOB绳的拉力范围为mgmgCA
18、B绳的拉力范围为mgmgDAB绳的拉力范围为0mg答案B解析当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F1，则2F1cos 30mg，F1mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为F2，则F2cos 30mg，F2mg，因此OB绳的拉力范围为mgmg，AB绳的拉力范围为0mg，B项正确6如图6所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO重合转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的
19、连线与OO之间的夹角为60，重力加速度大小为g.图6(1)若0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求0；(2)若(1k)0，且0k1，求小物块受到的摩擦力大小和方向答案(1) (2)当(1k)0时，Ff沿罐壁切线向下，大小为mg当(1k)0时，Ff沿罐壁切线向上，大小为mg解析(1)对小物块受力分析可知：FN cos 60mgFN sin 60mRRRsin 60联立解得：0(2)由于0k1，当(1k)0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下由受力分析可知：FNcos 60mgFfcos 30FNsin 60Ffsin 30mR2联立解得：Ffmg当(1k)0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上由受力分析
20、和几何关系知：FNcos 60Ffsin 60mgFNsin 60Ffcos 60mR2联立解得Ffmg.题组3竖直平面内圆周运动的临界问题7如图7所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L.重力加速度大小为g.现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为()图7A.mgB.mgC3mgD2mg答案A解析设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为30，则有rLcos L.根据题述小球在最高
21、点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mgm；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcos mgm，联立解得Fmg，选项A正确8.(多选)如图8所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(取g10 m/s2)()图8Av00 Bv04 m/sCv02 m/s Dv02 m/s答案CD解析当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg，又根据机械能守恒定律有mv22mgrmv，得v02 m/s，C正确当v0较小时，小球不
22、能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgrmv，得v02 m/s，D正确9如图9所示，两个四分之三竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别为hA、hB，下列说法正确的是()图9A若使小球沿轨道运动并且到达轨道最高点，两球释放的最小高度hAhB，A错误；在轨道最低点，小球受到的支持力最小时，释放高度是最小的，即对左侧轨道来说，在最低点mghAmv，由牛顿第二定律有FNAmgm，联立得FNA6m
23、g，对右侧轨道来说，在最低点有mghBmv，根据牛顿第二定律有FNBmgm，联立得FNB5mg，故B正确，C错误；小球A从最高点飞出后进行平抛运动，下落R高度时，水平位移的最小值为xAvARR，所以小球A落在轨道右端开口外侧，而适当调整hB，B可以落在轨道右端开口处，D错误10.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图10所示已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力图10(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时
24、的速度大小v2；(2)求绳能承受的最大拉力；(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？答案(1)(2)mg(3)d解析(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得竖直方向dgt2水平方向dv1t解得v1在竖直方向上有v22g(1)d，则vv2g(1)d解得v2(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小球做圆周运动的半径为Rd对小球在最低点由牛顿第二定律得FTmg解得FTmg(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变由牛顿第二定律得FTmg解得v3绳断后球做平抛运动，竖直位移为dl，水平位移为x，时间为t1，则竖直方向dlgt水平方向xv3t1解得x4当l时，x有极大值，xmaxd.