1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第8节 函数与方程 第二章 函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性1.判断函数零点的个数，发展直观想象素养2.确定函数零点所在的区间，达成直观想象和逻辑推理素养3.函数零点的应用，提升直观想象和逻辑推理素养 由零点存在性定理判断零点是否存在和零点所在的区间，求方程的根，函数的零点个数，基本初等函数的图象是
2、高考的热点以函数的零点，方程的根及函数图象的交点之间的等价转化为桥梁，考查转化与化归思想，考查函数与方程思想，数形结合等思想本部分内容在高考中以选择题或填空题形式考查的居多，在解答题中也有所体现，难度较大1函数的零点(1)函数零点的概念对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点(2)函数零点与方程根的关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴 有交点函数 yf(x)有 零点.(3)零点存在性定理如果函数 yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与 x 轴的交点
3、(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2103.二分法对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法1若函数 yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，则函数 yf(x)一定有零点2由函数 yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出 f(a)f(b)0，如图所示：所以 f(a)f(b)0 是 yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件3若函数 f(x)在(a，b)上单调，且 f(x)的图象是连
4、续不断的一条曲线，则 f(a)f(b)0函数 f(x)在a，b上只有一个零点思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数 f(x)x21 的零点是(1,0)和(1,0)()(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有 f(a)f(b)0.()(3)函数 y2sin x1 的零点有无数多个()(4)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点()(5)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1下列函数图
5、象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()解析：C A，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续故选 C.2函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)解析：B 易知 f(x)2x3x 在 R 上是增函数而 f(2)2260，f(1)2130，f(1)f(0)0，故函数 f(x)在区间(1,0)上有零点故选 B.3(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)ex3x 的零点个数是()A0 B1 C2 D3解析：B 由已知得 f(x)ex30，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1)1e30，因此函数 f(x)有且只有一个零点4用二
6、分法求函数 f(x)3xx4 的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060据此数据，可得 f(x)3xx4 的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为_解析：由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为 1.56.答案：1.565函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x2)f(x)当 x0,1时，f(x)2x.若在区间2,3上方程 ax2af(x)0 恰有四个不相
7、等的实数根，则实数 a 的取值范围是_.解析：由 f(x2)f(x)知函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在2,3上的图象如图所示直线 yax2a 过定点(2,0)，在区间2,3上方程 ax2af(x)0 恰有四个不相等的实数根，等价于直线 yax2a 与函数 yf(x)的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数 a 满足不等式 3a2a2，且 a2a2，即25a23.答案：25，23考点一 确定函数零点所在的区间(自主练透)题组集训1若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内
8、 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内解析：A ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选 A.2设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：B 法一 函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)ln x，h(x)x2 图象交点的横坐标所在的取值范围作图如下：可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)法二
9、 易知 f(x)ln xx2 在(0，)上为增函数，且 f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点3(2019大理州一模)已知三个函数 f(x)2xx，g(x)x1，h(x)log3xx 的零点依次为 a，b，c，则()AabcBbacCcabDacb解析：D 令 f(x)2xx0，解得 x0，令 g(x)x10，解得 x1，由 h(x)log3xx，令 h13 1130，h(1)10，又函数 h(x)是增函数，因此 h(x)的零点 x013，1.则 bca.确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 yf(x)在区
10、间a，b上的图象是否连续，再看是否有 f(a)f(b)0，2|x|，x0，则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数是_数学抽象、直观想象确定函数零点个数中的核心素养信息提取信息解读数学抽象、直观想象当 x0 时，y|lg x|的图象是函数 ylg x 的图象在 x 轴上方的部分保持不变，x 轴下方的部分沿 x 轴对称到 x轴上方f(x)|lg x|，x0，2|x|，x0当 x0 时，y2|x|2x12x 的图象就是y12x的图象在y轴左侧的部分在同一坐标系中画出函数 y|lg x|在x0 时的图象和函数 y2|x|在 x0 时的图象函数y2f2(x)3f(x)1的零点函数的零点就是方程的
11、根函数y2f2(x)3f(x)1的零点，即方程2f2(x)3f(x)10的根函数y2f2(x)3f(x)1的零点，也就是方程2f2(x)3f(x)10的根，把f(x)看成一个整体，本方程就是关于f(x)的一元二次方程，通过解方程可以得出f(x)1或解方程2f2(x)3f(x)10，得f(x)1或解方程2f2(x)3f(x)10的根，是解适合此方程的x的值，也就是方程f(x)或f(x)1对应的x的值结合函数f(x)的图象，观察y和y1与yf(x)的图象交点个数零点个数函数的零点个数就是对应方程的根的个数，即方程 f(x)12或 f(x)1 对应的 x 的值的个数，转化为 y12和 y1与 yf(
12、x)的图象交点个数，借助图象利用数形结合求解y12和 y1 与函数 yf(x)的图象交点个数之和即为本题的零点个数解析 第一步作函数 yf(x)的图象作出函数 yf(x)的图象第二步 解方程 2f2(x)3f(x)10由 2f2(x)3f(x)10 得 f(x)12或 f(x)1第三步 观察 y12和 y1 与 yf(x)的图象交点个数由图象知 y12与 yf(x)的图象有 2 个交点，y1 与 yf(x)的图象有 3 个交点第四步 得出函数的零点个数因此函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点有 5 个答案 5判断函数 yf(x)零点个数的常用方法(1)直接法：令 f(x)0，则方程实根的个
13、数就是函数零点的个数(2)零点存在性定理法：判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0.则函数 yf(x)的零点个数是()A0 B1 C2 D3解析：C f(x)0 时，得x0，x210 或x0，log2x0，解得 x1或 x1.故选 C.2函数 f(x)xln(x1)1 的零点个数是_解析：函数 f(x)xln(x1)1 的零点个数，即为函数 yln(x1)与 yx1 图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数 yln(x1)与 yx1 的图象，如图，由图可知函数 f(x)xln(x1)1 的零点个数是 2.答案：2考点三 函数零点的应用(子母变式)数学建模唇齿相依的函数与
14、方程函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程(组)或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决母题 若函数 f(x)xln xa 有两个零点，则实数 a 的取值范围为_解析 令 g(x)xln x，h(x)a，则问题可转化成函数 g(x)与 h(x)的图象有两个交点g(x)ln x1，令 g(x)0，即 ln x1，可解得 0 x0，即 ln x1，可解得 x1e，
15、所以，当 0 x1e时，函数 g(x)单调递增，由此可知当x1e时，g(x)min1e.在同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示，据图可得1ea0，x22xa，x0，若函数 yf(x)有三个零点，则实数 a 的取值范围是_解析：令 g(x)xln x，x0，x22x，x0，h(x)a，则问题转化为 g(x)与 h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图由图象知1ea1.答案：1e，1由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离得 af(x)，再转化成求函数 f(x)值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解