1、第九章第8讲 第1课时A级基础达标1如图所示，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y24x的焦点F，设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；(2)求证：直线AB与抛物线C相切(1)解：由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x1，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.所以，解得k.即直线l的方程为y(x1)(2)证明：设A(x0，y0)，则y4x0.因为|BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直线AB的方程为y(xx0)整理，
2、得xx0，把上式代入y24x，得y0y28x0y4x0y00，因为64x16x0y64x64x0，所以直线AB与抛物线C相切2(2020年山西期中)设点M和N是椭圆C：y21(a0)上不同的两点，线段MN最长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线MN过点Q(0,2)，且0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围解：(1)因为线段MN最长为4，所以42a，即a2，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为ykx2，联立整理得(14k2)x216kx120，由(16k)24(14k2)1216(4k23)0，可得k2.设M(x1，y1)，N(
3、x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.因为0，所以x1x2y1y20，即k24，故k24.设直线OP的斜率为k，因为两式相减得，所以k，则k2.故直线OP的斜率的取值范围是.B级能力提升3(2020年濮阳一模)已知O为坐标原点，抛物线C：x22py(p0)的焦点坐标为，点A，B在该抛物线上且位于y轴的两侧，3.(1)求证：直线AB过定点(0,3)；(2)以A，B为切点作C的切线，设两切线的交点为P，点Q为圆(x1)2y21上任意一点，求|PQ|的最小值(1)证明：根据题意，所以p1.故抛物线C：x22y.由题意设直线AB的方程为
4、ykxb(b0)由消去y整理得x22kx2b0.显然4k28b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，x20)，则x1x22b，所以x1x2y1y2x1x2b22b.由题意得b22b3，解得b3或b1(舍去)所以直线AB的方程为ykx3，故直线AB过定点(0,3)(2)解：因为yx，所以y|xx1x1，y|xx2x2，故以A为切点的切线方程为yy1x1(xx1)，即yx1xy1，以B为切点的切线方程为yy2x2(xx2)，即yx2xy2，联立解得y.又因为x1x26，所以两切线交点P的轨迹方程为y3.因为圆心(1,0)到直线y3的距离为3，所以圆上一点到直线y3的最小距离为312，故
5、|PQ|的最小值为2.4(2020年广州二模)已知点A，B的坐标分别是(，0)，(，0)，动点M(x，y)满足直线AM和BM的斜率之积为3，记M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)直线ykxm与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围解：(1)kAMkBM3(y0)，化简得曲线E的方程：1(y0)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(3k2)x22kmxm260，x1x2，y1y2k(x1x2)2m，(2km)24(3k2)(m26)12m224k2720，即m22k260，若四边形OPRQ为平行四边形，则PQ的中点也是OR的中点，所以R点的坐标为.又点R在曲线E上得1，化简得2m2k23，将代入，得m20，所以m0，由得2m23，所以m或m.当直线PQ经过(，0)时，mk，代入得m，不符合题意，所以m的取值范围为(，)(，)4
