1、广东省四会中学、云浮中学2011-2012下学期高二数学联合竞赛试题注意事项：1. 考生务必将自己的姓名、班级、考号写在密封线内2. 本试卷满分为150分，考试时间为120分钟；考试过程中不得使用计算器。一、选择题：(本大题共8小题，每小题6分，共48分)1. 在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则A. ab B. abC. ab D. a与b的大小关系不能确定2.若非零向量满足,，则的夹角为A. 300 B. 600 C. 1200 D. 15003.观察下列各式：，则的末四位数字为A. 3125 B. 5625 C. 0625 D.81254. 如图2
2、所示,已知正方体的棱长为2, 长 为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点 在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为 A B C D5. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 A0,) B. C. D. 6. 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为（1）、（2）、（3）、（4）的四个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 A. 96 B. 48 C. 24 D. 127. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六
3、根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是A（0,） B.（1,） C.(,） D. （0,）8.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则A. 1 B. C. D. 2二、填空题:本大题共6小题，每小题6分，共36分，把答案填在题中横线上9、若时，2恒成立，求的取值范围_10、当(2 , 4 ),不等式恒成立，则m的取值范围是_.11、在等差数列，公差，求其前n项和的最大值是_12、已知方程有两个不相等的实数根，且两根都大于1，则实数的取值范围是_.13计算，可以采用以下方法：ks*5u构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令，得类比上述计算方法，计算
4、14.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知在速度为10km/h时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，要使每千米的费用总和最小，则此轮船的速度为_. 三、解答题：本大题共4小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.EFABCD15（本小题满分14分）如图，已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，ACADCDDE2a，ABa，F为CE的中点（1）求证BF平面CDE； （2）求多面体ABCDE的体积；（3）求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小16.（本小题满分16分）已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x
5、轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（1）求E的方程；（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. 17（本小题满分16分）在数列中，=1，其中实数。(1)求的通项公式；(2)若对一切有，求c的取值范围。18.(本小题满分20分)已知函数.(1)试讨论的单调性；（2）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.广东省四会中学、云浮中学2011-2012下学期高二数学联合竞赛试题答案1、在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则A.ab B.abC. ab
6、D.a与b的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。2.若非零向量满足,，则a与b的夹角为 CA. 300 B. 600 C. 1200 D. 15003.观察下列各式：，则的末四位数字为A. 3125 B. 5625 C. 0625 D.8125【答案】D【解析】观察可知当指数为奇数时，末三位为125；又，即为第1004个指数为奇数的项，应该与第二个指数为奇数的项（）末四位相同，的末四位数字为81254. 如图2所示,已知正方体的棱长为2, 长 为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点 在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为 A
7、B C D【答案】D5、已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 A0,) B. C. D. 解析：选D.，即，6、四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为（1）、（2）、（3）、（4）的四个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ B ） A.96 B.48 C.24 D.127、有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是A（0,） B.（1,） C.(,）
8、D. （0,）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有2+，即，即有a0;综上分析可知a（0,）8.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（A）1 （B） （C） （D）2【解析】B：， ， ， ，设， ，直线AB方程为。代入消去， ， ，解得，二、填空题:本大题共6小题，每小题6分，共36分，把答案填在题中横线上9.若时，2恒成
9、立，求的取值范围_10、当(2 , 4 ),不等式恒成立，则m的取值范围是_.11、在等差数列，公差，求其前n项和的最大值是_144_12、已知方程有两个不相等的实数根，且两根都大于1，则实数的取值范围是_.13计算，可以采用以下方法：ks*5u构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令，得类比上述计算方法，计算 14.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知在速度为10km/h时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，要使每千米的费用总和最小，则此轮船的速度为_. 20km/h三、解答题：本大题共4小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.EFAB
10、CD15（14分）如图，已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，ACADCDDE2a，ABa，F为CE的中点（1）求证BF平面CDE； （2）求多面体ABCDE的体积；（3）求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小 思路分析:(1)如图7,取CD的中点G,DE的中点H,连接FG,FH,容易证明它们也是相应边的垂线.再连接BH.欲证线面垂直,先证线线垂直.如果BF面CDE证明成立的话,则必然有BFCE,考虑到F为CE的中点,我们的目标就是要证明BCE是等腰三角形.另外由于BF在平面ACD上的射影AG是ADC的边CD上的高,所以BFCD.这样BF就垂直于平面ACD上的两条相交直
11、线,从而BF面CDE.(2)求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3) 解:(1)证明:AB平面ACD,ABAC,由AB=a,AC=2a,得BC=a.同理,在直角梯形ABDE中,ABAD,DEAD,且AB=a,AD=DE=2a,所以BE=a.又F是CE的中点,BFCE.BF在面ACD上的射影是等边ADC的边CD上的高,BFCD.BF平面CDE. 4分 (2)解:连结BD,把原几何体分成三棱锥BACD与三棱锥BCDE.VBACD=ABSACD=a(2a)2=a3.CE=a,CF=a,而BC=a,BF=a,VBCDE=BFSCDE=a(2a)2=.故所
12、求多面体ABCDE的体积为a3. 9分(3)解：由（1）（2）可知FD、FE、FB两两垂直，所以以F为原点，在FD上建立x轴，FE上建立y轴，FB上建立z轴。所以平面BCE的法向量=（1，0,0,），平面ACD的法向量=设平面BCE与平面ACD所成的锐二面角角为.cos=,=14分（15）（本小题满分16分）已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. 本小题主要考察直线、轨迹方程、双
13、曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.解：(1)设P(x,y)，则化简得x2=1(y0)4分(2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2)(k0) 5分与双曲线x2=1联立消去y得(3k)2x24k2x(4k23)0 7分由题意知3k20且0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则9分y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k2(4) 因为x1、x21所以直线AB的方程为y(x1)因此M点的坐标为(),同理可得因此 0 12分当直线BC与x轴垂直时，起方程为x2，则B(2,3),C(2,3)AB的方程为yx1,因此M点的坐标为()，同理可得
14、因此0综上0，即FMFN故以线段MN为直径的圆经过点F16分（17）（本小题满分12分）在数列中，=1，其中实数。（I） 求的通项公式；（II） 若对一切有，求c的取值范围。18.(本小题满分20分)已知函数.(1)试讨论的单调性；（2）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.12分（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。20分【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。