1、题型概述填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题直接法是求解填空题的基本方法例1(1)已知函数f(x)若f(a)3，则a_.(2)(2015北京)在ABC中，a4
2、，b5，c6，则_.解析(1)a1时，f(a)1，不适合f(a)log2(1a)13，a3.(2)由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.答案(1)3(2)1思维升华利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化，从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键跟踪演练1(1)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_(2)(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_答案(1)4
3、4(2)2n1解析(1)由题意，得PQ16，线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上由双曲线的定义，可知PFPA2a，QFQA2a，两式相加，得，PFQF(PAQA)4a，则PFQF4aPQ431628，故PQF的周长为PFQFPQ281644.(2)由等比数列性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，联立方程解得或又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为Sn2n1.方法二特例法当填空题的已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊
4、函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论这样可大大地简化推理、论证的过程例2(1)cos2cos2(120)cos2(240)的值为_(2)如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为_解析(1)令0，则原式cos20cos2120cos2240.(2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可故可以将三条棱长分别取为OA6，OB4，OC2，如
5、图，则可计算S13，S22，S3，故S3S2S1.答案(1)(2)S3S20)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.答案(1)4(2)8解析(1)用特例法令锐角三角形ABC为等腰三角形，此时cos C.不妨设ab3(如图)，作ADBC垂足为D，所以CD1，AD2，所以tan C2，tan Atan B，所以4.(2)根据函数特点取f(x)sinx，再由图象可得(x1x2)(x3x4)(62)(22)8.方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一
6、般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形例3(1)函数f(x)的定义域为D，若满足：f(x)在D内是单调函数；存在a，bD，使得f(x)在a，b上的值域为2a,2b，则称函数f(x)为“成功函数”若函数f(x)logc(c4x3t)(c0，c1)是“成功函数”，则t的取值范围为_(2)已知函数f(x)log2x，g(x)若关于x的方程g(x)k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_解析(1)不妨设c1，因为c4x3t在其定义域内是单调递增函数，所以f(x)logc(c4x3t)也是单调递增函数，所以故a，b
7、是方程c4xc2x3t0的两个实数根，即方程3tc4xc2x有两个不同的实数根，也即函数yc4xc2x与直线y3t有两个不同的交点令c2xu，则c4xu2，所以问题转化为函数yu2u(u0)与y3t有两个不同的交点，结合函数的图象可知当03t，即0t1.答案(1)(0，)(2)(1，)思维升华数形结合法可直观快捷地得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系跟踪演练3(1)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(2)若函数yf(x)图象上不同两点M、N关于原点对称，则称
8、点对M，N是函数yf(x)的一对“和谐点对”(点对M，N与N，M看作同一对“和谐点对”)已知函数f(x)则此函数的“和谐点对”有_对答案(1)(0,2)(2)2解析(1)由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点(2)作出f(x)的图象，f(x)的“和谐点对”数可转化为yex (x0)和yx24x(x0)的图象的交点个数(如图)由图象知，函数f(x)有两对“和谐点对”方法四构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程构
9、造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的例4如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD2R，所以R，故球O的体积V.答案思维升华构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条
10、件和所要解决的问题确定构造的方向，一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等跟踪演练4(1)，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是_(2)已知三个互不重合的平面，m，n，且直线m、n不重合，由下列三个条件：m，n；m，n；m，n.能推得mn的条件是_答案(1)0，得x2，即函数f(x)在(2，)上单调递增，因此有f(4)f(5)f(6)，即0)焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，作AC，BD垂直抛物线的准线l于C、D，O为坐标原点，则下列结论
11、正确的是_(填写序号)；存在R，使得成立；0；准线l上任意点M，都使得0.答案解析设AB：xty代入y22px (p0)可得y22tpyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(，y1)，D(，y2)，F(，0)，且y1y22tp，y1y2p2.所以x1x22t2pp，则ABAFBFx1x2p2t2p2p.而AB的中点到准线的距离dt2ppAB，所以以AB为直径的圆与准线相切，所以不正确又因为kAO，kOD，kFC，kDF，所以kOAkOD，kCFkDF1，即A，O，D共线且CFDF，所以都是正确的显然正确，故应填.填空题突破练A组专题通关1设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当
12、x1,1)时，f(x)则f()_.答案1解析f(x)是定义在R上的周期为2的函数，f()f()421.2某校采用简单随机抽样的方法，从180名教师中抽取20名教师调查家访的次数，结果用茎叶图表示(如图)，则据此可估计这180名教师中家访次数在1525(含15和25)的人数为_答案63解析因为这20名教师家访次数在1525的人数为7，频率为，所以可估计这180名教师中家访次数在1525的人数为18063.3已知函数f(x)若关于x的函数g(x)f(x)m有两个零点，则实数m的取值范围是_答案(1,2解析g(x)f(x)m有两个零点等价于函数f(x)的图象与函数ym的图象有两个交点，作出函数f(x
13、)的图象如图，由图可知m的取值范围是(1,24函数f(x)sin(x)sin 2x (xR)的最大值是_答案解析根据题意可知，f(x)(sin xcos x)2sin xcos x.令sin xcos xt，则有sin 2x2sin xcos xt21，所以f(t)1t2t(t)2，t，则f(t)的图象开口向下，对称轴为t，的抛物线，所以当t时，ymax，即f(x)有最大值.5(2016河北衡水中学调研改编)执行如图的流程图，那么输出的S值是_答案解析由流程图知，记第k次计算结果为Sk，则有S11，S2，S32，S41S1，因此Sk是周期数列，周期为3，输出结果为S2 015S36712S2.
14、6若曲线f(x)e1x2与曲线g(x)aln x在它们的公共点T(m，n)处有公共切线，则实数a_.答案1解析根据题意可知，f(x)x，g(x)，x0，两曲线在点T(m，n)处有公切线，所以，即m，代入aln m，解得a1.7已知数列an满足a10，an1an21，则a13_.答案144解析由an1an21，可知an1(1)2，即1，所以数列是公差为1的等差数列，12，则a13144.8已知F1，F2分别是椭圆C：1的左，右焦点，P是椭圆上的一点，且PF16，则经过F1，F2，P三点的圆的方程为_答案x2y225解析由椭圆定义知PF1PF22a14，且PF16，故PF28，又F1F22c10，
15、由勾股定理得PF1PF2，所以圆的方程为x2y225.9设x，y满足约束条件则目标函数zxy的取值范围为_答案，1解析可行域为一个三角形OBC及其内部，其中O(0,0)，B(0,1)，C(1，1)，因此当z0时，y过点C时，z取最大值1；当z0时，y与直线2xy10相切时z取最小值；当x0时，z0.综上，目标函数zxy的取值范围为，110在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则PEQ周长的最小值为_答案解析设点P在棱B1C1上，先固定点Q，由此可得PEPE，PQPQ，由此可得当点P在棱B1C1上时，PEQ的周长
16、最小如图所示，点E1与点E关于直线B1C对称，点E2与点E关于直线B1C1对称根据对称性可得，PEQ的周长PEPQQEPE2PQQE1E1E2.B组能力提高11已知AB3，C是线段AB上异于A，B的一点，ADC，BCE均为等边三角形，则CDE的外接圆的半径的最小值是_答案解析设ACm，CBn，则mn3，在CDE中，由余弦定理知DE2CD2CE22CDCEcosDCEm2n2mn(mn)23mn93mn，又因为mn()2，当且仅当mn时，取“”，所以DE.又因为CDE的外接圆的半径R，所以CDE的外接圆的半径的最小值是.12已知函数f(x)若存在x1，x2R，当0x14x212时，f(x1)f(
17、x2)，则x1f(x2)的最大值是_答案解析当0x14x212时，f(x1)f(x2)，则x1f(x2)x1f(x1)，所求转化为求yx(x24x)(0x4)的最大值y3x28x，由y0得x0或x.易知当x时，yx(x24x)(0x0；若，反向，则0，故的最小值在，反向时取得，此时|，|()2，当且仅当|时取等号，即的最小值是.14设函数在R上存在导数f(x)，xR，有f(x)f(x)x2，在(0，)上f(x)x，若f(4m)f(m)84m，则实数m的取值范围是_答案2，)解析令g(x)f(x)x2，因为xR，有f(x)f(x)x2，所以g(x)g(x)f(x)x2f(x)x20，即函数g(x)为奇函数因为在(0，)上f(x)x，所以g(x)f(x)x0，即函数g(x)在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递减，又因为g(0)0，所以g(x)在R上单调递减由f(4m)f(m)84m，得f(4m)f(m)(84m)g(4m)(4m)2g(m)m2(84m)g(4m)g(m)0，即g(4m)g(m)，所以4mm，解得m2.