1、2020-2021年上海市大同中学高三上开学考一. 填空题1. 已知集合，则 2. 已知复数满足，则 3. 函数的反函数是 4. 若，则二项式展开式的系数和是 5. 设，若，则的最大值为 6. 甲箱子里有3个白球，2个黑球，乙箱子里有2个白球，3个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率为 7. 设是等腰直角三角形，斜边，现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为 8. 设为第二象限的角，则的值为 9. 已知、为双曲线左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为120，则的两条渐近线的夹角为 10. 已知函数，数列满足，（），则的值为 11. 函数满
2、足对任意，都有，且，则函数在上所有零点之和是 12. 已知集合，将的所有元素从小到大依次排列成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 二. 选择题13. 已知的解，的解，则是的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要14. 如图，正方形的边长为6，点、分别在边、上，且，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点使得成立，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 15. 已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则16. 如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧
3、面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）A. 21 B. 22 C. 23 D. 25三. 解答题17. 已知向量，其中，记.（1）若函数的最小正周期为，求的值；（2）在（1）的条件下，已知的内角、对应的边分别为、，若，且，求的面积.18. 如图，是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为60.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19. 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（
4、单位：万元），记第个月的当月利润率为，例.（1）求第个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.20. 给定椭圆（），称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”，若椭圆右焦点坐标为，且过点.（1）求椭圆的“伴随圆”方程；（2）在椭圆的“伴随圆”上取一点，过该点作椭圆的两条切线、，证明：两切线垂直；（3）在双曲线上找一点作椭圆的两条切线，分别交于切点、，使得，求满足条件的所有点的坐标.21. 我们称满足：（）的数列为“级梦数列”.（1）若是“1级梦数列”且，求和的值；（2）若是“1级梦数列”且满足，求的最小值；（3）若是“0级梦数列”且，设数列的前项和为，证明：（）.参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 6 11. 5 12. 27二. 选择题13. A 14. C 15. D 16. B三. 解答题17.（1）；（2）.18.（1）证明略；（2）.19.（1）；（2）第33个月的当月利润率最大，当月利润率为.20.（1）；（2）证明略；（3）.21.（1），；（2）；（3）证明略.
