1、3.1.3概率的基本性质学 习 目 标核 心 素 养1.了解事件间的包含关系和相等关系2理解互斥事件和对应事件的概念及关系(难点、易混点)3会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率(重点)4了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算.1通过互斥事件与对立事件的学习，体会逻辑推理素养2借助概率的求法，提升数学运算素养.1事件的关系与运算(1)事件的关系：定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系AB且BAAB事件互斥若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥AB事件对立若AB为不可能事件
2、，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且ABU(2)事件的运算：定义表示法图示并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0,1(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)(4)若A与B为对立事件，则P(A)1P(B)P(AB)1，P(AB)0.思考：在掷骰子的试验中，事件A出现的点
3、数为1，事件B出现的点数为奇数，A与B应有怎样的关系？提示AB1同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有()AABBABCABDABA由事件的包含关系知AB.2掷一枚骰子，观察结果，A向上的点数为1，B向上的点数为2，则()AABBABCA与B互斥DA与B对立C由于事件A与B不可能同时发生，故A、B互斥3一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”并给出以下结论：ABC；DB是必然事件；ABB；AD
4、C.其中正确的序号是()ABCDAAB表示的事件：至少有一件次品，即事件C，所以正确，不正确；DB表示的事件：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以正确；AD表示的事件：至多有一件次品，即事件D，所以不正确4一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为_0.65中奖的概率为0.10.250.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为10.350.65. 互斥事件与对立事件的判定【例1】(1)下列各组事件中，不是互斥事件的是()A一个射手进行一次射击，“命中环数大于8”与“命中环数小于6”B统计一个班
5、级数学期中考试成绩，“平均分数不低于90分”与“平均分数不高于90分”C播种菜籽100粒，“发芽90粒”与“发芽80粒”D检查某种产品，“合格率高于70%”与“合格率为70%”(2)从1,2,3，9中任取两数，给出下列各组事件：“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”；“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”；“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”；“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”其中是对立事件的是()ABCD(1)B(2)C(1)A中，一个射手进行一次射击，“命中环数大于8”与“命中环数小于6”不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；B中，当平均分等于90分时，两个事件同时发生，故B中
6、两事件不为互斥事件；C中，播种菜籽100粒，“发芽90粒”与“发芽80粒”不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；D中，检查某种产品，“合格率高于70%”与“合格率为70%”不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件(2)本题考查对立事件的概念从1,2,3，9中任取两数，有以下三种情况：a两个奇数；b.两个偶数；c.一个奇数和一个偶数所以仅有中的两个事件不能同时发生且必有一个发生互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断,设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.事件A与B互斥，即集合AB；事件A
7、与B对立，即集合AB，且ABI，即AIB或BIA.1把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是()A对立事件B相等事件C互斥但不对立事件D以上说法均不正确C按黑牌的分配情况分解事件黑牌由此可得“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件，故选C.事件的关系及运算【例2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件例如，事件C1出现1点，事件C2出现2点，事件C3出现3点，事件C4出现4点，事件C5出现5点，事件C6出现6点，事件D1出现的点数不大于1，事件D2出现的点数大于3，事件D3出现的点数小于5，事件E出现的点数小于7，事件F出现的点数为偶数，事件
8、G出现的点数为奇数，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1D3，C2D3，C3D3，C4D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1D1.(2)因为事件D2出现的点数大于3出现4点或出现5点或出现6点，所以D2C4C5C6(或D2C4C5C6)同理可得，D3C1C2C3C4，EC1C
9、2C3C4C5C6，FC2C4C6，GC1C3C5.事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A3个球中有1个红球、2个白球，事件B3个球中有2个红球、1个白球，事件C3个球中至少有1个红球，事件D3个球中既有红球又有白球(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与
10、A的交事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故DAB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故CAA.互斥事件与对立事件的概率公式及应用探究问题1在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(AB)P(A)P(B)一定成立吗？提示不一定，只有A与B互斥时，P(AB)P(A)P(B)才成立2若P(A)P(B)1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明提示A与B不一定对立例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)P(B)1，但A、B不对立【例3】在数学考试中，小
11、明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分79分的概率是0.15，在60分69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；(2)小明数学考试及格的概率思路点拨：小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分69分”“70分79分”“80分89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件解分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分89分”“在70分79分”在“60
12、分69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.(2)法一：小明数学考试及格的概率是P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是10.070.93.1(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率解分别记小明的成绩“在90分以上”，“在8089分”，“在7079分”，“在6069分”，“在60分以下”为事件A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥小明成绩在80分以下的概率
13、是：P(CDE)0.150.090.070.31.2(变条件)一盒中装有各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率解法一：(利用互斥事件求概率)记事件A1任取1球为红球，A2任取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)
14、P(A2)P(A3).法二：(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)A1A2A3的对立事件为A4.所以P(A1A2A3)1P(A4)1.互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题1互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系在一次试验中，两个
15、互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥2互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)3求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)互斥事件一定是对立事件()(2)事件A与B的并事件的概率一定大于事件
16、A的概率()(3)若P(A)P(B)1，则事件A与B一定是对立事件()答案(1)(2)(3)2给出以下结论：互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立；事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；事件A与B互斥，则有P(A)1P(B)其中正确命题的个数为()A0个B1个C2个D3个C对立必互斥，互斥不一定对立，对，错；又ABA时，P(AB)P(A)，错；只有A、B对立时，P(A)1P(B)才成立，错3口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是_0.3摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球
17、的概率为10.420.280.3.4从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”解(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件