1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第1节 数列的概念与简单表示法第五章 数列最新考纲核心素养考情聚焦1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数1.由数列的前几项求数列的通项公式，达成数学抽象素养2.由 an与 Sn的关系求通项an，发展逻辑推理和数学运算素养3.由数列的递推关系求数列的通项公式，增强逻辑推理和数学运算素养简单数列的通项公式的求解，数列的前 n项和与通项的关系，求数列的各项，及由 Sn求 an 是高考的热点高考中三种题型都有可能出现，试题难度中等1数列的概念(1)数列的定义：按照 一定顺序 排列的一列数称为数列，数
2、列中的每一个数叫做这个数列的 项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以 正整数集 N*(或它的有限子集)为定义域的函数 anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值(3)数列有三种表示法，它们分别是 列表法、图象法 和 通项公式法.2数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数 有限 按项数分类无穷数列项数 无限 递增数列an1 an递减数列an1 an按项与项间的大小关系分类常数列an1an其中 nN*有界数列存在正数 M，使|an|M按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的两种常用的表示方法(1)通项公
3、式：如果数列an的第 n 项 an 与 序号 n 之间的关系可以用一个式子 anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(2)递推公式：如果已知数列an的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式4已知数列an的前 n 项和 Sn，则 an S1 n1，SnSn1 n2.1.一些常见数列的通项公式(1)数列 1,2,3,4，的通项公式为 ann；(2)数列 2,4,6,8，的通项公式为 an2n；(3)数列 1,3,5,7，的通项公式为 an2n1；(4)数列 1,2
4、,4,8，的通项公式为 an2n1；(5)数列 1,4,9,16，的通项公式为 ann2；(6)数列 1，12，13，14，的通项公式为 an1n.(7)数列 1，1,1，1，的通项公式为 an(1)n1 或(1)n1；(8)数列1,1，1,1，的通项公式为 an(1)n.2典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1anf(n)累加法a11，an1an2nan1anf(n)累乘法a11，an12nanan1panq(p0,1，q0)化为等比数列a11，an12an1an1panqpn1(p0,1，q0)化为等差数列a11，an13an3n1其中(1)an1panq(p0,1，q0)的求解方法
5、是：设 an1p(an)，即 an1panp，与 an1panq 比较即可知只要 qp1.(2)an1panqpn1(p0,1，q0)的求解方法是两端同时除以pn1，即得an1pn1anpnq，数列anpn 为等差数列思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)1,1,1,1，不能构成一个数列()(2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(3)所有数列的第 n 项都能使用公式表达()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个()(5)已知 an2f(an1，an)时，如果要确定这个数列，则必须知道初始值 a1，a2.()(6)如果数列an
6、的前 n 项和为 Sn，则对nN*，都有 an1Sn1Sn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1(2019长沙市模拟)已知数列的前 4 项为 2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是()Aan(1)n11 Ban2，n为奇数，0，n为偶数Can2sinn2Dancos(n1)1解析：C 对 n1,2,3,4 进行验证，an2sinn2 不合题意，故选C.2已知数列的通项公式为 ann28n15，则 3()A不是数列an中的项B只是数列an中的第 2 项C只是数列an中的第 6 项D是数列an中的第 2 项和第 6 项解析：D 令 ann28n153，整理可得 n28n
7、120，解得 n2 或 n6.故 3 是数列an中的第 2 项或第 6 项，故选 D.3设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8 的值为()A15 B16C49 D64解析：A Snn2，a1S11.当 n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1.an2n1，a828115.4(人教 B 版教材例题改编)已知函数 f(x)x1x，设 anf(n)(nN*)，则an是 _ 数列(填“递增”或“递减”)答案：递增5在数列an中，a11，an2an1an(nN*)，则 a100 等于 _.解析：因为 an2an1an，所以 an3an2an1.两式相加得 an3an，则 an6an3an，即数
8、列an的周期为 6，所以 a100a1664a4a3a2(a2a1)a2a11.答案：1考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(自主练透)题组集训1已知 nN*，给出 4 个表达式：an0，n为奇数，1，n为偶数，an11n2，an1cos n2，ansinn2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是()A BC D解析：A 检验知都是所给数列的通项公式2根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)112，123，134，145，；(3)1,0,1,0，；(4)9,99,999,9 999，.解：(1)各数都是偶数，且最小为 4，所以通项
9、公式an2(n1)，nN*.(2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式 an(1)n1nn1，nN*.(3)这是一个摆动数列，奇数项是 1，偶数项是 0，所以此数列的一个通项公式 an1，n为奇数，0，n为偶数.或an(1)n11212，nN*.(4)这个数列的前 4 项可以写成 101,1001,1 0001,10 0001，所以它的一个通项公式 an10n1，nN*.用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割
10、等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n 或(1)n1 来调整(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想提醒 不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一考点二 由 an 与 Sn 的关系求通项 an(师生共研)典例(1)(2018全国卷)记 Sn 为数列an的前 n 项和若 Sn2an1，则 S6 _.(2)若数列an的前 n 项和 Sn3n2n1，则an的通项公式是an _.解析(1)根据 Sn2an1，可得 Sn12an11，两式相减得 an12an12an，即 an12an，当 n1 时，S1a12a11，
11、解得 a11，所以数列an是以1 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以 S61261263.(2)因为当 n1 时，a1S16；当 n2 时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于 a1 不适合此式，所以 an6，n1，23n12，n2.答案：(1)63(2)6，n1，23n12，n2.已知 Sn 求 an 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分 n1 和 n2 两种情况讨论；特别注意 anSnSn1 中需 n2.(2)由 SnSn1an 推得 an，当 n1时，a1 也适合“an 式”，则需统一“合写”(3)由 SnSn1an，推得 an，当 n1 时，a
12、1 不适合“an 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即 anS1n1SnSn1n2.提醒：在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成 anSnSn1 的形式，但它只适用于 n2 的情形跟踪训练1已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n，则an的通项公式为 _.解析：a1S1231，当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于 a1 也适合此等式，an4n5.答案：an4n52已知数列an的前 n 项和 Sn 满足 Sn3nb，则 an _.解析：a1S13b，当 n2 时，anSnSn1(3nb)(3n1
13、b)23n1.当 b1 时，a1 适合此等式当 b1 时，a1 不适合此等式当 b1 时，an23n1；当 b1 时，an3b，n1，23n1，n2.答案：3b，n1，23n1，n2.考点三 由数列的递推关系求数列的通项公式(多维探究)命题角度 1 形如 an1anf(n)，求 an 1(1)在数列an中，a12，an1an1nn1，求数列an的通项公式(2)若数列an满足：a11，an1an2n，求数列an的通项公式解：(1)由题意，得 an1an1nn11n 1n1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a11n11n 1n2 1n1 1213 112 231n.(2)由题意知 a
14、n1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n22112n12 2n1.命题角度 2 形如 an1anf(n)，求 an 2在数列an中，a11，前 n 项和 Snn23 an.求数列an的通项公式解：由题设知，a11.当 n2 时，anSnSn1n23 ann13 an1.anan1n1n1.anan1n1n1，a4a353，a3a242，a2a13.将以上 n1 个式子的等号两端分别相乘，得到ana1nn12.又a11，annn12.命题角度 3 形如 an1AanB(A0 且 A1)，求 an 3已知数列an满足 a11，an13an2，求数列an的通项公式解
15、：an13an2，an113(an1)，an11an1 3，数列an1为等比数列，公比 q3，又 a112，an123n1，an23n11.命题角度 4 形如 an1AanBanC(A，B，C 为常数)，求 an 4已知数列an中，a11，an1 2anan2，求数列an的通项公式解：an1 2anan2，a11，an0，1an1 1an12，即 1an1 1an12，又 a11，则 1a11，1an 是以 1 为首项，12为公差的等差数列 1an 1a1(n1)12n212，an 2n1(nN*)由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an1anf(n)或 an1f(n)an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度 1)注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度 3、4)转化为特殊数列求通项