1、2016-2017学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1集合1，2，3，2015，2016的子集个数为2已知全集U=R，集合A=x|x1，集合B=x|x2，则U（AB）=3已知集合A=x|1x2，集合B=x|xa，若AB，则实数a的取值范围是4己知集合U=a，b，c，d，e，f，集合A=a，b，c，d，AB=b，U（AB）=f，求集合B5已知a2a10，b2b10，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，则按A、B、C从小到大的顺序排列是6已知RtABC的周长为定值2，则它的面积最大值为7我们将ba称为集合M=x|axb的“长度”
2、，若集合M=x|mxm+，N=x|n0.5xn，且集合M和集合N都是集合x|0x1的子集，则集合MN的“长度”的最小值是8已知A=x|x，B=x|x（x3）（x+3）0，则AB=9对于任意集合X与Y，定义：XY=x|xX且xY，XY=（XY）（YX），已知A=y|y=x2，xR，B=y|2y2，则AB=10已知常数a是正整数，集合A=x|xa|a+，xZ，B=x|x|2a，xZ，则集合AB中所有元素之和为11非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，bG，都有a+bG；（2）存在eG使得对于一切aG都有ae=ea=a，则称G是关于运算的融洽集，现有下列集合与运算：G是非负整数集，：实数的加法；G
3、是偶数集，：实数的乘法；G是所有二次三项式构成的集合，：多项式的乘法；G=x|x=a+b，a，bQ，：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）12集合A=（x，y）|y=a|x|，xR，B=（x，y）|y=x+a，xR，已知集合AB中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是二.选择题13已知集合A=1，2，3，2105，2016，集合B=x|x=3k+1，kZ，则AB中的最大元素是（）A2014B2015C2016D以上答案都不对14已知全集U=AB中有m个元素，（UA）（UB）中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为（）AmnBm+nCnmDmn15命题“已知x，yR，如果x2+y2=0
4、，那么x=0且y=0”的逆否命题是（）A已知x，yR，如果x2+y20，那么x0且y0B已知x，yR，如果x2+y20，那么x0或y0C已知x，yR，如果x0或y0，那么x2+y20D已知x，yR，如果x0且y0，那么x2+y2016对任意实数a，b，c，给出下列命题：“a=b”是“ac=bc”的充要条件；“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“a4”是“a3”的必要条件；其中真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个三.解答题17已知集合A=1，2，3，B=x|x2（a+1）x+a=0，xR，若AB=A，求实数a18已知a，b，cR+，求证：2（a3
5、+b3+c3）ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c19设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+，求证：（1）介于a1与a2之间；（2）a2比a1更接近于20已知对任意实数x，不等式mx2（3m）x+10成立或不等式mx0成立，求实数m的取值范围21已知关于x的不等式（4kxk212k9）（2x11）0，其中kR；（1）试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=AZ（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B2016-2017学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1（2016秋杨浦
6、区校级期中）集合1，2，3，2015，2016的子集个数为22016【考点】子集与真子集【专题】集合思想；集合【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集【解答】解：集合1，2，3，2015，2016中有2016个元素，集合M1，2，3，2015，2016的子集的个数为22016；故答案为：22016【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n1）个真子集，属于基础题2（2016秋杨浦区校级期中）已知全集U=R，集合A=x|x1，集合B=x|x2，则U（AB）=x|1x2【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合思想；定
7、义法；集合【分析】根据并集与补集的定义，进行计算即可【解答】解：全集U=R，集合A=x|x1，集合B=x|x2，所以AB=x|x1或x2，所以U（AB）=x|1x2故答案为：x|1x2【点评】本题考查了并集与补集的定义与应用问题，是基础题目3（2016秋杨浦区校级期中）已知集合A=x|1x2，集合B=x|xa，若AB，则实数a的取值范围是1，+）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】题中条件：“AB，”表示两个集合的交集的结果不是空集，即可求解实数a的取值范围【解答】解：集合A=x|1x2，集合B=x|xa，因为AB，所以a1故答案为：1，+）【点评】本题考查集合的
8、关系、一元二次不等式的解法，考查运算能力，是基础题4（2016秋杨浦区校级期中）己知集合U=a，b，c，d，e，f，集合A=a，b，c，d，AB=b，U（AB）=f，求集合B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合思想；综合法；集合【分析】根据全集U，以及A与B并集的补集确定出A与B的并集，再根据A与B的交集及A，确定出B即可【解答】解：U=a，b，c，d，e，f，U（AB）=f，AB=a，b，c，d，e，AB=b；A=a，b，c，d，bB，eB，bB，cB，dB，B=b，e【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键5（2016秋杨浦区校级期中）已知a2a10
9、，b2b10，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，则按A、B、C从小到大的顺序排列是BCA【考点】不等式比较大小【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式【分析】不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，分别求出A，B，比较即可【解答】解：a2a10，b2b10，且a1+a2=b1+b2=1，不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，A=a1b1+a2b2=+=，B=a1b2+a2b1=+=，C=BCA故答案为：BCA【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题6（2016秋杨
10、浦区校级期中）已知RtABC的周长为定值2，则它的面积最大值为32【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用【分析】设直角边长为a，b，则斜边长为，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得a+b+=2，利用基本不等式，即可求ABC的面积的最大值【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，直角三角形ABC的三边之和为2，a+b+=2，22+，=2，ab64，S=ba32，ABC的面积的最大值为32故答案为：32【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键，属于中档题7（2016秋杨浦区校级期中）我们将ba称为集合M=x|axb
11、的“长度”，若集合M=x|mxm+，N=x|n0.5xn，且集合M和集合N都是集合x|0x1的子集，则集合MN的“长度”的最小值是【考点】交集及其运算【专题】计算题；新定义；转化思想；转化法；集合【分析】当集合MN的长度的最小值时，M与N应分别在区间0，1的左右两端，由此能求出MN的长度的最小值【解答】解：根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合MN的长度的最小值时，M与N应分别在区间0，1的左右两端，故MN的长度的最小值是=故答案为：【点评】本题考查交集的“长度”的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用8（2016秋杨浦区校级期中）已知A=x|x，B=x|x（x3）（
12、x+3）0，则AB=x|3x0【考点】交集及其运算【专题】计算题；方程思想；定义法；集合【分析】先利用不等式的性质分别求出集合A和B，由此利用交集的性质能求出AB【解答】解：A=x|x=x|2x1，或x0，B=x|x（x3）（x+3）0=x|3x0或x3，AB=x|3x0故答案为：x|3x0【点评】本题考查交集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意无理不等式和高次不等式性质的合理运用9（2016秋杨浦区校级期中）对于任意集合X与Y，定义：XY=x|xX且xY，XY=（XY）（YX），已知A=y|y=x2，xR，B=y|2y2，则AB=3，0）（3，+）【考点】子集与交集、并集运算的转换【专题
13、】综合题；方程思想；演绎法；集合【分析】由A=y|y=x2，xR=y|y0，B=y|2y2，先求出AB=y|y2，BA=y|2y0，再求AB的值【解答】解：A=y|y=x2，xR=y|y0，B=y|2y2，AB=y|y2，BA=y|2y0，AB=y|y2y|2y0，故答案为：3，0）（3，+）【点评】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解XY=x|xX且xY、XY=（XY）（YX）10（2016秋杨浦区校级期中）已知常数a是正整数，集合A=x|xa|a+，xZ，B=x|x|2a，xZ，则集合AB中所有元素之和为2a【考点】并集及其运算【专题】集合思想；转化法
14、；集合【分析】分别求出集合A、B中的元素，从而求出A、B的并集，求和即可【解答】解：A=x|xa|a+，xZ=0，a，2a，B=x|x|2a，xZ=a，0，a，则集合AB=a，0，a，2a，故集合AB中所有元素之和是2a，故答案为：2a【点评】本题考查了集合的运算，考查解绝对值不等式问题，是一道基础题11（2016秋杨浦区校级期中）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，bG，都有a+bG；（2）存在eG使得对于一切aG都有ae=ea=a，则称G是关于运算的融洽集，现有下列集合与运算：G是非负整数集，：实数的加法；G是偶数集，：实数的乘法；G是所有二次三项式构成的集合，：多项式的乘法；G=x|
15、x=a+b，a，bQ，：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）【考点】元素与集合关系的判断【专题】新定义；集合思想；集合【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件，若两个条件都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”【解答】解：对于任意非负整数a，b知道：a+b仍为非负整数，所以abG；取e=0，及任意非负整数a，则a+0=0+a=a，因此G对于为整数的加法运算来说是“融洽集”；对于任意偶数a，b知道：a+b仍为偶数，故有a+bG；但是不存在eG，使对一切aG都有ae=ea=a，故的G不是“融洽集”对于G=二次三项式，若a、bG时，a，b的两个同类项系数，则其积不
16、再为二次三项式，故G不是和谐集，故不正确；G=x|x=a+b，a，bQ，设x1=a+b，x2=c+d，则设x1+x2=（a+c）+（b+d），属于集合G，取e=1，a1=1a=a，因此G对于实数的乘法运算来说是“融洽集”，故中的G是“融洽集”故答案为【点评】本题考查了对新定义“融洽集”理解能力，及对有关知识的掌握情况关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件12（2016秋杨浦区校级期中）集合A=（x，y）|y=a|x|，xR，B=（x，y）|y=x+a，xR，已知集合AB中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是1，1【考点】交集及其运算【专题】计算题；转化思想；转化法；集合【分析】由已知
17、得a|x|=x+a有1个解，由此能求出常数a的取值范围【解答】解：集合A=（x，y）|y=a|x|，xR，B=（x，y）|y=x+a，xR，集合AB中有且仅有一个元素，a|x|=x+a有1个解，若x0，ax=x+a，x=，若x0，ax=x+a，x=，由已知得或或或，解得1a1常数a的取值范围是1，1故答案为：1，1【点评】本题考查常数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用二.选择题13（2016秋杨浦区校级期中）已知集合A=1，2，3，2105，2016，集合B=x|x=3k+1，kZ，则AB中的最大元素是（）A2014B2015C20
18、16D以上答案都不对【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】由题意求出A与B的交集，即可作出判断【解答】解：A=1，2，3，2105，2016，集合B=x|x=3k+1，kZ则AB中的最大元素是2014故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键14（2009江西）已知全集U=AB中有m个元素，（UA）（UB）中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为（）AmnBm+nCnmDmn【考点】Venn图表达集合的关系及运算【专题】数形结合【分析】要求AB的元素个数，可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析（如解法一），也可以利用德摩根定
19、理解决（如解法二）【解答】解法一：（CUA）（CUB）中有n个元素，如图所示阴影部分，又U=AB中有m个元素，故AB中有mn个元素解法二：（CUA）（CUB）=CU（AB）有n个元素，又全集U=AB中有m个元素，由card（A）+card（CUA）=card（U）得，card（AB）+card（CU（AB）=card（U）得，card（AB）=mn，故选D【点评】解答此类型题目时，要求对集合的性质及运算非常熟悉，除教材上的定义，性质，运算律外，还应熟练掌握：（CUA）（CUB）=CU（AB）（CUA）（CUB）=CU（AB）card（AB）=card（A）+card（B）card（AB）等15
20、（2016秋杨浦区校级期中）命题“已知x，yR，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是（）A已知x，yR，如果x2+y20，那么x0且y0B已知x，yR，如果x2+y20，那么x0或y0C已知x，yR，如果x0或y0，那么x2+y20D已知x，yR，如果x0且y0，那么x2+y20【考点】四种命题间的逆否关系【专题】定义法；简易逻辑【分析】根据已知中原命题，写出逆否命题，可得答案【解答】解：命题“已知x，yR，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是“已知x，yR，如果x0或y0，那么x2+y20”故选：C【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题16（
21、2016秋杨浦区校级期中）对任意实数a，b，c，给出下列命题：“a=b”是“ac=bc”的充要条件；“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“a4”是“a3”的必要条件；其中真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】综合法；简易逻辑【分析】逐项判断即可由ac=bc不能推出a=b；由5是有理数易判断；根据不等式的性质可得；根据充分必要条件的定义易得【解答】解：由“a=b“可得ac=bc，但当ac=bc时，不能得到a=b，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故错误；因为5是有理
22、数，所以当a+5是无理数时，a必为无理数，反之也成立，故正确；取a=1，b=2，此时a2b2，故错误；当a4时，不能推出a3；当a3时，有a4成立，故“a4”是“a3”的必要不充分条件，故正确综上可得正确的命题有2个故选：B【点评】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是关键属于基础题三.解答题17（2016秋杨浦区校级期中）已知集合A=1，2，3，B=x|x2（a+1）x+a=0，xR，若AB=A，求实数a【考点】并集及其运算【专题】计算题；分类讨论；集合【分析】根据AB=A，得到BA，然后分B为空集和不是空集讨论，A为空集时，只要二次方程的判别式小于0即可，不是空集时，分别把1
23、和2代入二次方程求解a的范围，注意求出a后需要验证【解答】解：由AB=A，得BA若B=，则=（a+1）24a0，解得：a；若1B，=（a+1）24a=0，此时a=1，满足12a1+a=0，此时B=1，符合题意；若2B，则222a2+a=0，解得：a=2，此时A=2，1，满足题意若3B，则323a3+a=0，解得：a=3，此时A=3，1，满足题意综上所述，实数a的值为：1，2，3【点评】本题考查了并集及其运算，考查了分类讨论的数学思想，求出a值后的验证是解答此题的关键，是基础题18（2016秋杨浦区校级期中）已知a，b，cR+，求证：2（a3+b3+c3）ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+
24、a2c【考点】不等式的证明【专题】证明题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用【分析】作差，因式分解，即可得到结论【解答】证明：（a3+b3）（a2b+ab2）=a2（ab）+b2（ba）=（ab）（a2b2）=（ab）2（a+b）a0，b0，（a3+b3）（a2b+ab2）0a3+b3a2b+ab2同理b3+c3bc2+b2c，a3+c3ac2+a2c，三式相加，可得2（a3+b3+c3）ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（2016秋杨浦区校级期中）设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+
25、，求证：（1）介于a1与a2之间；（2）a2比a1更接近于【考点】二分法求方程的近似解【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式【分析】（1）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论；（2）利用作差法，判断|a2|a1|0，即可得到结论【解答】证明：（1）a2=1+=，若a1，a10，而10，a2若a1，a10，而10，a2，故介于a1与a2之间；（2）|a2|a1|=|a1|=|a1|，a10，20，|a1|0，|a2|a1|0|a2|a1|a2比a1更接近于【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，确定差的符号是关键20（2016秋杨浦区校级期中）已知对任意实数x，不等式mx2
26、（3m）x+10成立或不等式mx0成立，求实数m的取值范围【考点】一元二次不等式的解法【专题】分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用【分析】对任意实数x，不等式mx2（3m）x+10成立，对m分类讨论，m=0时，易判断出m0时，解出即可得出对任意实数x，不等式mx0成立，m【解答】解：对任意实数x，不等式mx2（3m）x+10成立，m=0时化为：3x+10，不成立，舍去m0时，解得对任意实数x，不等式mx0成立，m综上可得：实数m的取值范围是【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题21（2016秋杨浦区校级期中）已知关于x的不等式（4kxk21
27、2k9）（2x11）0，其中kR；（1）试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=AZ（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B【考点】一元二次不等式的解法【专题】分类讨论；不等式的解法及应用；不等式【分析】（1）对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出（2）根据B=AZ（其中Z为整数集），集合B为有限集，即可得出【解答】解：（1）当k0，A=x|；当k=0，A=x|x；当0k1或k9，A=x|x，或x；当1k9，A=x|x，或x；（2）B=AZ（其中Z为整数集），集合B为有限集，只有k0，B=2，3，4，5【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题
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