1、试卷类型:A绝密启用前2022-2023学年度第一学期高三年级调研考试试卷理科数学注意事项:1考生答卷前,务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上将条形码粘贴在规定区域本试卷满分150分,考试时间120分钟2做选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答非选择题时,将答案写在答题卡的规定区域内,写在本试卷上无效4考试结束后,将答题卡交回一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1. 设,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先用复数的四则运算
2、求出复数,再写出其共轭复数即可.【详解】因为,所以.故选:B.2. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先用列举法把集合表示出来,再求集合与的并集.【详解】因为,所以.故选:D.3. 函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断函数为奇函数,排除CD;根据特殊值的大小,排除A选项.【详解】定义域为,又,故为奇函数,排除CD;又,显然,故A错误,B正确.故选:B4. 已知向量满足,它们夹角为,则( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标公式,准确运算,即可求解.【详解】由题意,向量满足,它
3、们的夹角为,则.故选:C.5. 从2名女同学和3名男同学中任选2人参加志愿者服务,则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为( )A. 0.4B. 0.3C. 0.6D. 0.5【答案】C【解析】【分析】选中的2人恰好是男女同学各1名的数量为,则所求概率为【详解】由题,选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为.故选:C6. 双曲线的一条近线方程为,则其离心率为( )A. 3B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】由渐近线方程得,再由计算即可【详解】渐近线方程为,即,故.故选:A7. 在中,则( )A. B. 5C. D. 6【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式求得,再用余弦定理即可求得AC
4、.【详解】,而,在中,由余弦定理得:,代入数据得:,解得:或(舍)故选:B.8. 执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的( )A. 3B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序,依次计算可得.【详解】当输入的时,S=0,K=1,K6;S=1,K=2,K6;S=,K=3,K6;S=2,K=4,K6;S=,K=5,K6;S=3,K=6,K6;S=,K=7,K6,输出S=.故选:D9. 在正方体中,E、F分别为棱和的中点,则异面直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取的中点,连接,根据,得到异面直线与所成的角,即为与所成的角,直角中,即可
5、求解.【详解】如图所示,取的中点,连接,在正方体中,因为是的中点,可得,所以异面直线与所成的角,即为与所成的角,设,设正方体的棱长为,可得,由平面,且平面,可得,所以,在直角中,可得.故选:A.10. 若在是增函数,则a的最大值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数性质,可得的单调区间,是单增区间的子集.【详解】,根据函数图象和性质,在上单调递增,在上单调递减.而,所以a的最大值为.故选:A.11. 已知是椭圆E的两个焦点,P是E上的一点,若,且,则E的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆定义得到,由得到,由勾股定理得到,两式结合
6、求出,结合得到,求出离心率.【详解】由题意得:,则,由椭圆定义可知:,所以,即,所以,又,所以,即故E的离心率为.故选:C.12. 已知是定义域为的奇函数,满足若,则( )A. 13B. 0C. D. 1【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的性质得到,再由,即可得到是以为周期的周期函数,再求出、的值,即可得解.【详解】解:因为是定义域为的奇函数,所以,又,所以,即,所以,即是以为周期的周期函数,又,所以,所以,所以.故选:D二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡上对应题的横线上13. 曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率,由此可得切
7、线方程.【详解】,曲线在点处的切线斜率,所求切线方程为:,即.故答案为:.14. 若满足约束条件,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,代入即可求解.【详解】画出约束条件所表示的平面区域,如图所示,目标函数,可化为直线,结合图形,当直线过点时,直线在轴上的截距最大,目标函数取得最小值,由,解得,所以目标函数的最小值为.故答案为:.15. 已知,且是第一象限角,则_【答案】【解析】【分析】利用两角差的正切公式求出,再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解:因为,所以,即,解得,又,解得或,因为第一象限角,所以;故答案为:16.
8、已知圆锥的顶点为P,母线的夹角为,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为_【答案】【解析】【分析】由题得,为正三角形,由的面积求得PA,再由与圆锥底面所成角求得底面半径,即可根据公式求得侧面积【详解】由题,则为正三角形,母线,又与圆锥底面所成角为,底面半径,圆锥的侧面积为.故答案为:三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22,23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17. 记为等差数列的前n项和,已知(1)求的通项公式;(2)求,并求的最大值【答案】(1) (2),21【解析】【分析】(1)根据等差数列
9、的前项和公式可求出公差,从而利用等差数列的通项公式即可求出答案;(2)根据等差数列的前项和公式和二次函数的性质,即可直接求出答案.【小问1详解】设数列的公差为,由得,即,由,得所以的通项公式为【小问2详解】由(1)得因为,所以当或时,取得最大值,最大值为2118. 根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好?并说明理由;(2)求24个得分的中位数m,并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的列联表:超过m不超过m甲乙(3)根据(2)中的列联表,能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异?附:0.150.1
10、00.052.0722.7063.841【答案】(1)乙运动员的成绩更好,理由见解析 (2);填表见解析 (3)没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异【解析】【分析】(1)根据茎叶图分析数据的分布情况判断即可;(2)根据中位数的定义求解,再完善表格即可;(3)计算卡方并对比表格中的数据判断即可.【小问1详解】乙运动员的成绩更好,理由如下:()由茎叶图可知:乙运动员的得分基本上是对称的,叶的分布是“单峰”的,有的叶集中在茎3,4上;甲运动员的得分基本上也是对称的,只有的叶集中在茎3,4上所以乙运动员的成绩更好()由茎叶图可知:乙运动员得分的中位数是36;甲运动员得分的中位数是2
11、7所以乙运动员的成绩更好()从叶在茎上的分布看,乙运动员的得分更集中于单峰值附近,这说明乙运动员的发挥更稳定以上给出3种理由,学生答出其中一种或其他合理理由均可得分【小问2详解】由茎叶图可知,列联表如下:超过m不超过m甲57乙75【小问3详解】由于,所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异19. 如图,在三棱锥中,D为的中点(1)证明:平面;(2)若E是棱上的动点,当的面积最小时,求与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质与判定,结合等腰三角形的性质分别证明即可;(2)当的面积最小时,根据三角形的面积公式可得当的面积最小时
12、,取最小值,此时得,再根据为与平面所成的角求解即可;或以D为坐标原点建立空间直角坐标系,根据线面夹角的向量求法求解即可.【小问1详解】因为,又D为的中点,所以,且,连接,所以为等腰直角三角形,且,由,可知,由,平面,可知平面【小问2详解】解法1:因为,所以,当的面积最小时,取最小值,此时得,这时为的中位线,且因为,且,平面,所以平面,故为与平面所成的角因为E是的中点,所以中,所以与平面所成角的正弦值为解法2:同解法1,且.因为两两互相垂直,故以D为坐标原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系则,设平面的法向量为,则,即,所以可取,又,设与平面所成角为,则20. 已知抛物线C的顶点在原
13、点,焦点F在y轴上,且C经过点,过F且斜率为的直线l与C交于M,N两点,(1)求C和的方程;(2)求过点M,N且与C的准线相切的圆的方程【答案】(1); (2)或【解析】【分析】(1)设的方程为,代入点的坐标得的值,得到的方程,设的方程为,联立方程组,求得,结合,求得的值,即可得到直线的方程;(2)由(1)得线段中点坐标,得到线段的垂直平分线方程,设所求圆的圆心坐标为,联立方程组求得圆心坐标和半径,即可求解圆的方程.【小问1详解】解:设的方程为,代入点的坐标得,所以的方程为所以焦点的坐标为,设的方程为且,联立方程组,整理得,所以,所以由题设知,解得或(舍去),所以的方程为【小问2详解】解:由(
14、1)得线段中点坐标为,所以线段的垂直平分线方程为,即,设所求圆的圆心坐标为,则,解得,或,即圆心坐标为或,又由抛物线的准线方程为,可得点或到准线的距离分别为或,即圆的半径分别为或,所以圆方程为或21. 已知函数(1)若,求的单调区间;(2)讨论的零点情况【答案】(1)递增区间为,递减区间为 (2)答案见解析【解析】【分析】(1)求得,结合导数的符号,即可求解函数的单调区间;(2)根据题意转化为,令,利用导数求得函数的单调性和极值,结合图象,即可求解.【小问1详解】解:当时,则,可得,令,解得,当时,当时,当时,所以在单调递增,在单调递减【小问2详解】解:当时,;当时,等价于,令,则,当时,;当
15、时,;当时,;所以在单调递增;在单调递减,且当时,当时,;当时,如图所示,可得为的极大值,当,即时,与只有1个交点,即只有1个零点;当时,与有2个交点,即有2个零点;当时,与有3个交点,即有3个零点综上,时,只有1个零点;当时,有2个零点;当时,有3个零点【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是转化函数的零点个数为方程的根的根数,进而利用分离参数法,转化为函数的交点个数.(二)选考题:共10分请考生在第22,23题中任选一题作答,并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分 选修4-4:坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极
16、轴建立极坐标系,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的极坐标方程为(1)若,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)求出曲线C的普通方程和直线l的普通方程,联立即可求出交点坐标.(2)设C上的点坐标为,根据点到直线的距离公式即可求得a.【小问1详解】曲线C的普通方程为,当时,l的普通方程为,由解得或所以C与l的交点坐标为【小问2详解】l的普通方程为,故C上的点到l的距离当时,d的最大值为,由题设得,所以;当时,d的最大值为,由题设得,所以 选修4-5:不等式选讲23. 已知证明:(1);(2)【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用整式的乘法化简,再利用乘法公式及完全平方数的非负性证明即可;(2)利用基本不等式计算可得.【小问1详解】证明:因为,所以,当且仅当时取等号小问2详解】证明:因为所以,所以,所以,