1、6.2.3向量的数乘运算知识点一向量的数乘知识点二实数与向量的积的运算律知识点三共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.1对a的理解(1)可以将a的长度扩大(|1时)，也可以缩小(|0时)，也可以改变a的方向(0时)，与a的方向相反(2)当0时，a0，而当0时，若a0，也有a0.(3)实数与向量可以求积，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广，但不能进行加减运算，如：a，a无意义2对两向量共线的条件的理解(1)判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量的积等于另一个向量可以用来证明几何中的三点共线及两直线平行的问题(2)为何规定“非零
2、向量a”这一条件？若a0，b0时，不存在实数使得ba；若a0，b0，则存在不唯一的实数满足等式(3)若a，b不共线，且存在实数，使ab(或 ab0)，则必有0.因为a，b不共线，则a，b必为非零向量，若0，则ba，若0，则ab，无论哪种情况都有a，b共线与已知矛盾，故必有0.(4)两向量共线的一般形式：若存在不全为0的一对实数，使ab0，则a与b共线1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)a的方向与a的方向一致()(2)共线向量定理中，条件a0可以去掉()(3)若a4e，b8e，则a2b.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)下列各式中不表示向量的是()A0aBa3bC|3a|D.e(x
3、，yR，且xy)(2)下列各式计算正确的有()(7)6a42a；7(ab)8b7a15b；a2ba2b2a；4(2ab)8a4b.A1个 B2个 C3个 D4个(3)已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向(4)已知向量a2e，be，则a与b_(填“共线”或“不共线”)答案(1)C(2)C(3)D(4)共线题型一 向量的数乘运算例1化简下列各式：(1)3(6ab)9；(2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.解(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8
4、b2c3a9b3c7abc.向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算(1)设向量a3i2j，b2ij，求(2ba)；(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y.解(1)原式abab2baabab(3i2j)(2ij)iji5j.(2
5、)32，得x3a2b，再代入，得y4a3b.题型二 向量的线性运算的应用例2如图，四边形ABCD是一个梯形，且|2|，M，N分别是DC，AB的中点，已知e1，e2，试用e1，e2表示下列向量(1)_；(2)_.解析(1)因为，|2|，所以2，.e2e1.(2)e1e2e1e1e2.答案(1)e2e1(2)e1e2互动探究在本例中，若条件改为e1，e2，试用e1，e2表示向量.解因为，所以2()()又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以0，0.所以2，所以()e2e1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所
6、求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解解法一：设x，则x，e1x，e1x.又x，由，得xe1xe2.解方程得xe2e1，即e2e1.由，e1x，得e1e2.解法二：设x，y，则x，y.由，得2，得x2xe12e2，x(2e2e1)同理得y(2e1e2)，即e2e1，e1e2.解法三：如图所示，延长BC与AL的延长线交于点E，则DLACLE.从而2，由，得2e2e1，即(2e2e1)e2e1.同理可得(2e1e2)e1e2.题型三 共线向量定理的应用例3已知非零向量e1，e2不共线(1)
7、如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值解(1)证明：e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.，共线，且有公共点B.A，B，D三点共线(2)ke1e2和e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，即(k)e1(k1)e2.e1与e2不共线，解得k1.变式探究本例条件不变，将(2)改为：欲使ke12e2和2e1ke2共线，试确定k的值解ke12e2和2e1ke2共线，存在实数使ke12e2(2e1ke2)，即(k2)e1(k2)e2，e1，e2不共线，解得k2.用向量共线的条件证明两条直线平
8、行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求证：A，B，D三点共线；(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，求xy的值解(1)证明：e13e2，2e1e2，e14e2.又2e18e22(e14e2)，2，.AB与BD有公共点B，A，B，D三点共线(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共
9、线定理可知，必定存在实数使，即()，所以(1)，故x1，y，即xy1.1已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.A B C D答案B解析显然正确中当m0时，对于任意两向量a，b，mamb都成立，但不一定有ab，故错误中当a0时，不成立故选B.2对于向量a，b有下列表示：a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.其中，向量a，b一定共线的是()A B C D答案A解析中ba，则a，b共线；中b2a，则a，b共线；中a4b，则a，b共线故选A.3已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(xy1)a(xy)b0，则x_，y_.答案解析由已知得解得xy.4. 如图所示，在ABCD中，a，b，AN3NC，M为BC的中点，则_(用a，b表示)答案(ba)解析3，M为BC的中点，则()(ba)5如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形证明F，G分别是AB，AC的中点，.同理，.四边形EFGH为平行四边形