1、5.3平面向量的数量积1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系从近几年高考试题来看，有关平面向量数量积的问题一直是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题等常与函数、三角、解析几何等综合在一起命题1数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作 ，其中是a与b的夹角，cos叫向量b在a方向上的 ，即.ab的几何意义：数量积ab等于_2数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运
2、算律交换律：_；数乘结合律：_；分配律：_(2)常用结论(ab)2_；(ab)(ab)_； a2b20_；|_.3数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 ea_. ab_.当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_.特别地，aa_或_. cos_._.4数量积的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_；a2_；_. ab_._.【自查自纠】1.cosab投影a的长度与b在a的方向上的投影cos的乘积2(1)abba(a)b(ab)a(b)(ab)cacbc(2)a22abb2a2b2a0且b03|a|cosab0|a|b|a|b|a|
3、2|a|b|4x1x2y1y2xyx1x2y1y20()已知向量a(1，1)，b(2，x)若ab1，则x()A1 B C D1解：ab12(1)x2x1，x1.故选D.()若20，则ABC必定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解：20()00.则ABC必定是直角三角形故选B.()若向量a，b满足|a|b|ab|1，则ab的值为()A B C1 D1解：|a|b|ab|1，|ab|2(ab)2a22abb2|a|22ab|b|21，2ab1，故ab.故选A.若非零向量a，b满足，(2ab)b0，则a与b的夹角为_解：(2ab)b0，2cosb20.由可得cos.故填1
4、20.()已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_解：设a，b，则2.且ab0.(ba)b2a2442.故填2.类型一数量积的定义及几何意义(1)若a，b，c均为非零向量，则下列说法正确的是_(填写序号即可)abab；abab0；acbcab；(ab)ca(bc)解：abcos，为a，b的夹角，则cos1，正确；显然正确；错误，如ab，ac，则acbc0，但ab；错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c的倍数，等式右边为a的倍数故填.(2)()ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若2，且，则向量在向量方向上的投影为()A B C3 D解：由已知可以知道，ABC的外接圆的圆心
5、在线段BC的中点O处，因此ABC是直角三角形且A，又因为，C，B，AB，AC1，故在方向上的投影为cos.故选A.【评析】数量积ab|a|b|cosx1x2y1y2(其中两向量夹角为，a(x1，y1)，b(x2，y2)其几何意义是：ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题(1)()用向量证明：对任意实数x1，x2，y1，y2有x1x2y1y2.证明：设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为，则，x1x2y1y2ab，又abcos.x1x2y1y2.(2)()已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D
6、(3，4)，则向量在方向上的投影为 ()A BC D解：(2，1)，(5，5)，由向量数量积的几何意义知向量在方向上的投影为|cos，.故选A.类型二数量积的基本运算已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_解：因为ab(e12e2)(ke1e2)ke(12k)(e1e2)2e，且|e1|e2|1，e1e2，所以k(12k)20，解得k.故填.【评析】实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如ab0a或b为0，abacbc，(ab)ca(bc)等已知|a|6，|b|4，a与b的夹角60，则(a2b)(a3b)_.解：(a2b)(
7、a3b)aaab6bb|a|2|a|b|cos6|b|26264cos6064272.故填72.类型三用数量积表示两个平面向量的垂直关系(1)()已知向量a(x1，2)，b(2，1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1 Cx5 Dx0解：由向量垂直的充要条件得2(x1)20，所以x0.故选D.(2)()已知两个非零向量a，b满足，则下面结论正确的是()Aab BabC. Dabab解法一：，a22abb2a22abb2，得ab0，ab.解法二：ab，ab分别是以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线，平行四边形的对角线相等该平行四边形为矩形，ab.故选B.【评析】两个向量垂直的充要条件是两向量的
8、数量积为0，即：a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0x1x2y1y20.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为我们又可视零向量与任意向量垂直(1)()设向量a(1，2m)，b(m1，1)，c(2，m)，若(ac)b，则_.解：ac(3，3m)，(ac)b3(m1)3m0m.故填.(2)()已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3 C2 D1解：易知mn(23，3)，mn(1，1)，(mn)(mn)，(mn)(mn)0，2330，解得3.故选B.类型四向量的夹角与模(1)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_解：设a
9、与b的夹角为，由(a2b)(ab)2得|a|2ab2|b|2422cos242，解得cos，.故填.(2)()平面向量a与b的夹角为60，a(2，0)，1，则()A. B. C3 D7解：a22abb27，故.故选B.【评析】由向量数量积的定义ab|a|b|cos(为a，b的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法(1)若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角的取值范围是_解：由题意
10、得，|sin，|1，|1，sin.又(0，)，.故填.(2)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2解：|abc|，由于ab0，a，b，c为单位向量，所以上式，又由于(ac)(bc)0，得(ab)cc21，所以|abc|1，故选B.类型五几何图形中向量的数量积(1)在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则_.解法一：由题知，D为BC的中点，E为CA的三等分点，以D为原点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立如图平面直角坐标系，可得A，D(0，0)，B，E，故，所以.解法二：由求解故填.(2)()已知正方形ABC
11、D的边长为1，点E是AB边上的动点则的值为_；的最大值为_解：()1.().当E与B重合时该式取最大值1.故填1；1.(3)()在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_解法一：()()2()292516.解法二：因为2，两式分别平方、相减得44224910064，故16.故填16.【评析】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处解决此类问题的常用方法是：利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；将条件通过向量的线性运算进
12、行转化，再利用求解(较难)；建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果 (1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB3，BD1，则_.解：如图所示，()93cos120，故填. (2)()如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解法一：以A为坐标原点，的方向分别为x，y轴正方向建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0，2)，C(，2)(，0)，(，1)，设点F为(x，2)，则由，得x，x1.(1，2)，(1)2.解法二：()1，1.()()0(1)120.故填.(3)()如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足
13、为P，且AP3，则_解：设ACBDO，则2()，2()2222()2218.故填18.1平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数2注意平面向量的数量积与数的乘法的区别：在数的乘法中，若ab0，则a，b中至少有一个为0.但在向量的数量积中，由ab0不能推得a0或b0，因为当两个非零向量a，b垂直时，也有ab0.特别应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立3注意两个非零向量a，b的夹角与a，b所在直线的夹角的区别前者的取值范围是0，后者的取值范围是.4求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2即|a|将模的运算转化为向量的数量积5利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷