1、第三章 三角函数、解三角 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合Mx|xsin，nZ，Nx|xcos，nN，则MN等于 ()A.1,0,1B.0,1 C.0 D.解析：Mx|xsin，nZ，0，N1,0,1，MN0.答案：C2.已知(，)，sin，则tan()等于 ()A. B.7 C. D.7解析：由(，)，sin，得tan，tan().答案：A3.若函数f(x)(1tanx)cosx,0x，则f(x)的最大值为 ()A.1 B.2 C.1 D.2解析：f(x)(1tanx)cosxco
2、sxsinx2sin(x)，0x，f(x)max2.答案：B4.(2010温州模拟)函数f(x)2sin(2x)在，上对称轴的条数为 ()A.1 B.2 C.3 D .0解析：当x，2x，函数的对称轴为：2x，x，或x.答案：B5.要得到ysin(2x)的图象，只要将ysin2x的图象 ()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位解析：ysin(2x)sin2(x)，只要将ysin2x的图象向右平移个单位便得到ysin(2x)的图象.答案：D6.使奇函数f(x)sin(2x)cos(2x)在，0上为减函数的 值为 ()A. B. C. D.解析：由已知得：f
3、(x)2sin(2x)，由于函数为奇函数，故有kk(kZ)，可淘汰B、C选项，然后分别将A和D选项代入检验，易知当时，f(x )2sin2x其在区间，0上递减，故选D.答案：D7.给定函数yxcos(x)，y1sin2(x)，ycos(cos(x)中，偶函数的个数是 ()A.3 B.2 C.1 D.0解析：对于yxcos(x)xsinx，是偶函数，故正确；对于y1sin2(x)sin2x1，是偶函数，故正确；对于ycos(cos(x)cos(sinx)cos(sinx)，f(x)cos(sin(x)cos(sinx)cos(sinx)f(x)，函数是偶函数，故正确.答案：A8.在ABC中，若s
4、in2Asin2BsinAsinBsin2C，且满足ab4，则该三角形的面积为()A.1 B.2 C. D.解析：sin2Asin2BsinAsinBsin2C，a2b2abc2，cosC，C60，SABCabsinC4.答案：D9.有一种波，其波形为函数ysin(x)的图象，若在区间0，t上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是 ()A.3 B.4 C.5 D.6解析：由T4，可知此波形的函数周期为4，显然当0x1时函数单调递增，x0时y0，x1时y1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x值为1，第二个波峰对应的x值为5，所以要区间0，t上至少两个波峰，则t至少为5.答案：C1
5、0.设集合M平面内的点(a，b)，Nf(x)|f(x)acos2xbsin2x，xR，给出从M到N的映射f：(a，b)f(x)acos2xbsin2x，则点(1，)的象f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.解析：f(x)cos2xsin2x2sin(2x)，则最小正周期为.答案：A11.函数ysin(2x)在区间，上的简图是 ()解析：当x时，ysin()sin0，排除B、D，当x时，ysin()sin00，排除C.答案：A12.设函数f(x)Asin(x)，(A0，0，)的图象关于直线x对称，它的周期是，则 ()A.f(x)的图象过点(0，) B.f(x)的图象在，上递减C.f(x
6、)的最大值为A D.f(x)的一个对称中心是点(，0)解析：T，2.图象关于直线x对称， sin()1，即2k，kZ又，f(x)Asin(2x).再用检验法.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为13，则内切圆面积与扇形面积之比为. 解析：如图，设内切圆半径为r，则扇形的半径为3r，计算可得扇形中心角为，故S内切圆S扇形r23r(3r)23.答案：2314.已知函数f(x)2sin(x)的图象如下图所示，则f().解析：由图象知，函数的周期为T，T. f()0，f()f()f()f()0.答案：015.设A
7、BC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosBbcosAc.则的值为.解析：由acosBbcosAc及正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC，即sinAcosBsinBcosAsin (AB)，即5(sinAcosBsinBcosA)3(sinAcosBsinBcosA)，即sinAcosB4sinBcosA，因此tanA4tanB，所以4.答案：416.下面有五个命题：函数ysin4xcos4x的最小正周期是；终边在y轴上的角的集合是|，kZ；在同一坐标系中，函数ysinx的图象和函数yx的图象有三个公共点；把函数y3sin(2x)的图象向右平移个单位得到y3sin
8、2x的图象；函数ysin(x)在0，上是减函数.其中真命题的序号是.解析：ysin2xcos2xcos2x，故最小正周期为，正确；k0时，0，则角终边在x轴上，故错；由ysinx在(0,0)处切线为yx，所以ysinx与yx的图象只有一个交点，故错；y3sin(2x)的图象向右平移个单位得到y3sin2(x)3sin2x，故正确；ysin(x)cosx在0，上为增函数，故错.综上，为真命题.答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知(cossin，sin)，(cossin，2cos). (1)设f(x) ，求f(x
9、)的最小正周期和单调递减区间；(2)设有不相等的两个实数x1，x2，且f(x1)f(x2)1，求x1x2的值. 解：(1)由f(x)得f(x)(cossin)(cossin)(sin)2coscos2sin22sincoscosxsinxcos(x)，所以f(x)的最小正周期T2.又由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.故f(x)的单调递减区间是2k，2k(kZ).(2)由f(x)1得cos(x)1，故cos(x).又x，于是有x，得x10，x2，所以x1x2.18.(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA，cosB.(1)求角C；(2)若ABC的最短边
10、长是，求最长边的长.解：(1)tanA，A为锐角，则cosA，sinA.又cosB，B为锐角，则sinB，cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB .又C(0，)，C.(2)sinAsinB，AB，即ab，b最小，c最大，由正弦定理得，得cb5.19.(本小题满分12分)在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA，sinB.(1)求AB的值；(2)若ab1，求a、b、c的值.解：(1)A、B为锐角，sinA，sinB， cosA，cosB，cos(AB)cosAcosBsinAsinB.0AB，AB.(2)由(1)知C，sinC.由正弦定理得abc
11、，即ab，cb，ab1，bb1，b1，a，c.20.(本小题满分12分)如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，AOB是正三角形，若点A的坐标为(，)，记COA.(1)求的值；(2)求|BC|2的值.解：(1)A的坐标为(，)，根据三角函数的定义可知，sin，cos，.(2)AOB为正三角形，AOB60.cosCOBcos(60)coscos60sinsin60，|BC|2|OC|2|OB|22|OC|OB|cosCOB112.21(本小题满分12分)已知函数f(x)Asin(x)B(A0，0)的一系列对应值如下表：xy-1131-113 (1)
12、根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数yf(kx)(k0)周期为，当x0，时，方程f(kx)m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围；解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T ()2，由T，得1.又令，即，解得，f(x)2sin(x)1.(2)函数yf(kx)2sin(kx)1的周期为，又k0，k3.令t3x，x0，t，如图sints在，上有两个不同的解的充要条件是s，1)，方程f(kx)m在x0，时恰好有两个不同的解的充要条件是m1,3)，即实数m的取值范围是1,3) 22(本小题满分14分)(2010长沙模拟)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所
13、示经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界ABAD4万米， BC6万米，CD2万米(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；(2)因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用 地APCD的面积最大，并求最大值解：(1)因为四边形ABCD内接于圆，所以ABCADC180，连接AC，由余弦定理： AC24262246cosABC4222224cosADC.所以cosABC，ABC(0，)，故ABC60.S四边形ABCD46sin6024sin1208(万平方米)在ABC中，由余弦定理：AC2AB2BC22ABBCcosABC 1636246.AC2.由正弦定理2R，2R，R(万米)(2)S四边形APCDSADCSAPC，又SADCADCDsin1202，设APx，CPy.则SAPCxysin60xy.又由余弦定理AC2x2y22xycos60 x2y2xy28.x2y2xy2xyxyxy.xy28，当且仅当xy时取等号S四边形APCD2xy2289，最大面积为9万平方米