1、11.2排列与组合1理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题2理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题排列与组合的应用是高考考查的重点内容之一，大都以小题形式出现主要考查有限制条件的排列与组合的应用题，也常与概率结合在一起命题，难度一般不大1排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照_排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_表示(3)排列数公式：A_.这里n，mN*，并且_(4)全排列：n个不同元素全部
2、取出的一个_，叫做n个元素的一个全排列An(n1)(n2)321_，因此，排列数公式写成阶乘的形式为A，这里规定0！_.2组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_表示(3)组合数公式：C = 这里nN*，mN，并且mn.(4)组合数的两个性质：C_；C_.【自查自纠】1(1)一定的顺序(2) 所有不同排列A(3) n(n1)(n2)(nm1)mn(4) 排列n！12(1)合成一组(2)所有不同组合C(3) (4)
3、CCC下列等式不正确的是()ACC BCC(n2)(n1)AA DCCC解：C.故选B.若从6位志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作中的一种，现已确定这6人中的甲必须选上且专门从事翻译工作，则不同的选派方案有()A24种 B60种 C360种 D243种解：由排列的定义可知所求为A60种故选B.()将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种 C9种 D8种解：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC12种安排方案故选A.()在实验
4、室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有_种解：先排A，将B和C“捆绑”在一起作为一个整体因此共有编排方法AAA96种，故填96.()将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_解：5张参观券分为4堆，其中有两张连号的分法有4种，然后把4堆参观券分给不同的4个人有A种不同的分法，故共有不同的分法种数为4A96.故填96.类型一排列数与组合数公式(1)解方程3A4A；(2)解方程CCCC.解：(1)利用3A3，4A4，得到.利用
5、(10x)！(10x)(9x)(8x)！，将上式化简后得到(10x)(9x)43.再化简得到x219x780.解方程得x16，x213.由于A和A有意义，所以x满足x8和x19.于是将x213舍去，原方程的解是x6.(2)由组合数的性质可得CCCCCCCC，又CC，且CCC，即CCCC.CC，5x2，x3.经检验知x3符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为x3.【评析】(1)应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义(2)应用组合数性质CCC时，应注意其结构特征：右边下标相同，上标相差1；左边(相对于右边)下标加1，上标取大使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉
6、越长，又可以从右推到左，越推越短(1)解方程：3A2A6A；(2)计算：CCCC.解：(1)由3A2A6A得3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，由x0整理得3x217x100.解得x5或(舍去)即原方程的解为x5.(2)原式(CC)CC(CC)CCCC166650.类型二排列的基本问题7位同学站成一排照相(1)甲站在中间，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？解：(1)甲的位置固定，则
7、只需排其他六个人，则有A720种排法(2)分两步，先排甲、乙，则有A种排法；再排其他5个人，有A种排法，由分步乘法计数原理则有AA240种排法(3)直接法：分两种情况：甲站在排尾，则有A种排法；甲不站排尾，先排甲、乙，再排其他，则有AAA种排法综上，则共有AAAA3720种排法间接法：总的排法数减去甲站在排头的和乙站在排尾的情况，但是这就把甲站在排头，乙站在排尾的情况减了两次，故后面要加回来，即AAAA3720种排法(4)采用“捆绑”法，将甲乙看成一个整体进行排列(甲乙之间也有排列)，故有AA1440种排法(5)采用“插空”法，先排其他5个人，然后将甲乙插入到由这5个人形成的6个空中，故有AA
8、3600种排法(6)甲站在乙的左边的排法总数等于乙站在甲的左边的排法总数，故有A2520种排法【评析】(1)有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：特殊元素优先考虑；对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑整体内容排序；对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数(2)解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种正向思考时，通过分步、分类设法将问题分解；逆向思考时，从问题的反面入手，然后“去伪存真”6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；
9、(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间间隔两人；(5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端解：(1)解法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法AA480(种)解法二：若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数有A2A480(种)(2)解法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有AA240(种)站法解法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A种站法
10、，再在5个空档中选出一个供甲、乙站入，有A种方法，最后让甲、乙全排列，有A种方法，共有站法AAA240(种)(3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A种，故共有站法为AA480(种)(4)解法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A种，故共有A3A144种站法解法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A种方法，最后对甲、乙进行排列，有A种方法，故共有AAA14
11、4(种)站法(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有AA48(种)站法(6)解法一：(间接法)甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，甲在左端且乙在右端的站法有A种，故共有A2AA504(种)站法解法二：以甲的位置分为两类：甲站右端有A种，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有AAA种，故共有AAAA504(种)站法类型三组合的基本问题课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两队长当选；(3)至少有1名队长当选
12、；(4)至多有2名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解：(1)1名女生，4名男生，故共有CC350(种)(2)将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有CC165(种)(3)至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长故共有：CCCC825(种)或采用间接法：CC825(种)(4)至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法为：CCCCC966(种)(5)分两类：第一类女队长当选：有C种选法；第二类女队长不当选：有CCCCCCC种选法故选法共有：CCCCCCCC790(种)【评析】分类时不重不漏；注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间
13、接法(排除法)；应防止出现如下常见错误：如对(3)，先选1名队长，再从剩下的人中选4人得CC825，请同学们自己找错因从7名男同学和5名女同学中选出5人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？(1)A，B必须当选；(2)A，B都不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女同学当选；(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任解：(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有C120种(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有C252种(3)直接法，分两类：A，B一人当选，有CC420种A，B都不当选，有C25
14、2种所以总的选法有420252672种间接法：从12人中选5人的选法总数中减去从不含A，B的10人中选3人(即A，B都当选)的选法总数，得到总的选法有CC672种(4)直接法，分四步：选2名女生，有CC1035350种；选3名女生，有CC210种；选4名女生，有CC35种；选5名女生，有C1种所以总的选法有350210351596种间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即满足条件的选法有C(CCC)596种(5)分三步：选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有CC35种；再选出2男1女，补足5人的方法有CC60种；最后为第二步选出的3人分派工作，有A6
15、种方法所以总的选法有3560612600种类型四分堆与分配问题现有6本不同的书：(1)甲、乙、丙三人每人两本，有多少种不同的分配方法？(2)分成三堆，每堆2本，有多少种分堆方法？(3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？(5)甲、乙、丙三人中，一人分4本，另两人每人分1本，有多少种不同的分配方法？解：(1)在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后两本给丙，共有CCC90(种)分配方法；(2)6本书平均分成3堆，用上述分法重了A倍，故共有15(种)分堆方法；(3)从6本
16、书中，先取1本作为一堆，再在剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，共有CCC60(种)分堆方法；(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，共有CCCA360(种)分配方法(5)先分堆、再分配，共有A90(种)分配方法【评析】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：处理分配问题要注意先分堆再分配被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)分堆时要注意是否均匀如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，
17、分成(4，1，1)为部分均匀分组(1)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有_种解：将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有15种方法，再将3组分到3个班，共有15A90种不同的分配方案故填90.(2)甲乙两位兽医对动物园的三头老虎，两头狮子进行体检若要求每位兽医至少检查两种动物各一头，则不同的体检任务分配方案有_种解：若将三头老虎中的两头看作“一头”，有C种情形(即将老虎分成两组)接下来将“两头老虎”和两头狮子的体检任务分别分配给两位兽医，有AA种分配方案故总的分配方案有CAA12种故填12.类型五数字排列问题用数字0，1，2，3，4，5
18、组成没有重复数字的四位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？解：(1)直接法：AA300；间接法：AA300.(2)由题意知四位数的个位上必须是偶数，同时暗含了千位不能是0，因此该四位数的个位和千位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0既是偶数，又不能排在千位，属“特殊元素”，应重点对待解法一：(直接法)0在个位的四位偶数有A个；0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在千位，应有AAA个综上所述，共有AAAA156(个)解法二：(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有AA个，其中千位是0的有AA个
19、，故适合题意的数有AAAA156(个)【评析】本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件0不能在首位用0，1，2，3，4，5六个数字排成没有重复数字的6位数，满足以下条件的分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位解：(1)0不在个位，也不能在首位，可先确定个位和首位，再确定其余四个数位，共有AA480个(2)可把1与2看作一个整体并全排列，0不在首位，需先排0，再排其余数字，共有AAA192个(3)这六个数字可排成AA个无重复数字的6位数，减去1与2相邻的情况，
20、即可得1与2不相邻的无重复数字的6位数有AAAAA408个(4)先从其余4个数字中任选2个排在0与1之间有A种排法，并把这四个数作为一个整体若0在1之前，则先排首位，再将余下的一个数与这个整体全排列；若1在0之前，可直接将这个整体与其余2个数字进行全排列，共有AAAAA120个(5)0不在首位，1不在个位，先将6个数字全排列为A，再减去0在首位和1在个位的情况有2A种但是0在首位，1在个位的情况减了两次，故后面要加回来，故共有A2AA504个(也可用AAAA60096504)1排列数与组合数的计算问题含有排列数或组合数的方程都是在限定的正整数范围内求解，利用这一点可以根据题目的要求首先对方程进
21、行化简证明题一般用A或C及组合数的性质证明过程中要注意阶乘的运算及技巧2排列与组合的区别与联系排列、组合之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行全排列，因此，分析解决排列的基本思路是“先选，后排”3解排列、组合题的基本方法(1)优先法：元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置(2)排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉(3)分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理得出结论，注
22、意分类要不重、不漏(4)分步处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步乘法计数原理解决在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步(5)插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间(6)捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”将“捆绑”元素在这些位置上作全排列(7)隔板法：将n个相同小球放入m(mn)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m1个结点，剪截成m段这是针对相同
23、元素的组合问题的一种方法(8)除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数(9)穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来这种方法常用于方法数比较少的问题4解组合问题时应注意(1)在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义(2)关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法)(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的对于这类问题必须先分组后排列，若平均分m组，则分法.