1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第6节 二次函数与幂函数 第二章 函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.通过具体实例，结合yx，yx2，yx3，y，y的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数2.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质3.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1.幂函数的图象与性质，发展数学抽象和直观想象素养2.二次函数的最值问题，达成直观想象和逻辑推理素养3.二次函数零点的分布问题，提升直观想象和逻辑推理素养 幂函数、二次函数的图象与性质是高考考查的热点内容，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查数形结合思想，这种思想方法常融合在函数的最值、函
2、数零点的分布问题之中主要以选择题或填空题的形式出现，属于低中档题，在解答题中常与导数的应用综合，属于中高档题1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如 yx 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数(2)常见的 5 种幂函数的图象(3)常见的 5 种幂函数的性质函数yxyx2yx3yx12yx1定义域RRR 0，)x|x0值域R 0，)R0，)y|y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶奇单调性在 R 上单调递增 在(，0上单调递减，在0，)上单调递增 在 R上单调递增 在0，)上单调递增 在(，0)和(0，)上单调递减 公共点(1,1)2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax
3、2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2 为 f(x)的零点(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域 4acb24a，4acb24a 单调性在，b2a 上单调递减；在 b2a，上单调递增在，b2a 上单调递增；在 b2a，上单调递减对称性函数的图象关于 x b2a对称 一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，0.(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，0.思考辨析 判断下列说
4、法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数 y2x12是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当 n0)，xm，n的最小值一定是4acb24a.()(5)关 于 x 的 不 等 式 ax2 bx c0 恒 成 立 的 充 要 条 件 是a0，b24ac0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是()解析：D 由 A，C，D 知，f(0)c0，所以 ab0，知 A，C 错误，D 满足要求；由 B 项知 f(0)c0，所以 ab0，所以 x b2a14 Ba14C14a0 D14a0解析：D 当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上
5、是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x1a，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，且1a4，解得14a0.综合上述得14a0.命题角度 3 二次函数的最值逻辑推理分类讨论思想在二次函数问题中的应用二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x b2a为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数3已知 f(x)4x24ax4aa2 在0,1内的最大值为5，则 a的值为()A.54B1 或54C1 或54D5
6、 或54解析：D f(x)4xa224a，对称轴为 xa2，当a21，即 a2 时，f(x)在0,1上递增，ymaxf(1)4a2，令4a25，得 a1(舍去)当 0a21，即 0a2 时，ymaxfa2 4a，令4a5，得 a54.当a20，即 a0 时，f(x)在0,1上递减，ymaxf(0)4aa2，令4aa25，得 a5 或 a1(舍去)综上所述，a54或5.故选 D.二次函数求最值问题，一般先用配方法化为 ya(xm)2n 的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程 xm，结合二次函数的图象求解常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨
7、论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值命题角度 4 二次函数中恒成立问题4设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x4 的一切 x 值都有f(x)0，则实数 a 的取值范围为_解析：由 f(x)0，即 ax22x20，x(1,4)，得 a2x22x在(1,4)上恒成立令 g(x)2x22x21x12212，1x14，1，所以 g(x)maxg(2)12，所以要使 f(x)0 在(1,4)上恒成立，只要 a12即可答案：12，由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解；二是构造函数，数形结合求解.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.