1、上海市复旦附中 2020 届高三数学上学期 9 月综合练习试题一（含解析）一、填空题 1.在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【答案】40【解析】因为的展开式的通项为，令，所以的系数为.2.已知全集，集合，那么=_【答案】x|0 x2【解析】【分析】根据补集与交集的定义计算即可【详解】全集 UR，集合 Ax|x2，Bx|x0 x|x0，那么 AUBx|0 x2 故选：x|0 x2【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题 3.函数的定义域是_【答案】（，）【解析】【分析】根据题意列出使函数有意义的不等式，求出解集即可【详解】函数 y，6x20，解得，定义域是（，）故答案为：（，）【点睛
2、】本题考查了求函数定义域及一元二次不等式的解法问题，是基础题 4.函数的反函数是_【答案】y，（x0）【解析】【分析】求反函数，第一步从原函数式中反解出 x，第二步互换 x，y，最后确定反函数的定义域【详解】由得，x，y0，+），所以函数的反函数是 y，（x0）故答案为：y，（x0）【点睛】本题主要考查了反函数的求法，求解时，一定要注意反函数的定义域的确定，属于基础题 5.不等式的解集是，则不等式的解集为_【答案】x|2x【解析】【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得 a0，且3，3，由此化简要求的不等式为 3x2+5x20，从而求出它的解集【详解】不等式 ax2+bx+c0 的解集
3、是，a0，且3，3，b0，c0，不等式 cx2+bx+a0，即 x20，即 x20，即 3x2+5x20，求得它的解集为 x|2x，故答案为：x|2x【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题 6.若集合，且，则实数 的值为_【答案】0，【解析】分析：通过解方程求出集合 的元素，然后根据，讨论集合 的可能性 为空集和不为空集，最后分别求出每一种情形下 的取值即可 详解：当时，则 当时，要使，则，解得 点睛：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，本题体现了分类讨论的思想方法，属于基础题.7.若函数 yx23x4 的定义域为0，m，值域为，则 m 的取值范围
4、是 【答案】；【解析】【分析】作出函数的图象，由图象可得函数取值在上的 x 的范围，由题函数的定义域为0，m，即可得解【详解】解：函数 yx23x4 的图象如图，当 x时，函数有最小值，当 x0 或 x3 时函数值为4，原题给出函数的定义域为0，m，所以，从图象中直观看出，故答案为 点睛】本题考查了二次函数的图象，考查了函数的值域，考查了数形结合思想，准确作出函数图象是解题的关键，此题是基础题 8.已知对于任意的恒成立，则 的取值范围是_【答案】3，1【解析】【分析】根据题意可转化为 a2+2a+2的最小值问题，然后利用导数求出函数的单调性与最小值即可得答案【详解】根据题意化简得：a2+2a+
5、2对任意 x（1，+）恒成立，令 f（x），f（x）令 f（x）0 x3 或1（舍负）令 f（x）0 x3；令 f（x）01x3；x3 时函数 f（x）取得最小值且 f（3）5；a2+2a+25，化简得：a2+2a30，即（a1）（a+3）0，解得3a1 故答案为：3，1【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性问题，以及极值与最值问题，属于中档题 9.设关于 x 的不等式 axb0 的解集为x|x1，则关于 x 的不等式0 的解集为_.【答案】【解析】由题意可知,不等式的解集为.10.已知函数满足，且，则该函数的定义域是_【答案】（，3）（3，+）【解析】【分析】由 4x29y236 求得 y
6、，再由 xy0 得到关于 x 的不等式组，求解得答案【详解】由 4x29y236，得，由，解得 x3；由，解得 x3 函数 yf（x）的定义域为（，3）（3，+）故答案为：（，3）（3，+）【点睛】本题考查函数定义域及其求法，正确理解函数概念是关键，是中档题 11.设 是有理数，集合，在下列集合中：；与 相等的集合的序号是_【答案】【解析】【分析】本题主要考查集合相等的证明方法：双包含，由此对各序号依次分析判断.【详解】设对应的集合分别为 A，B，C，D，则 对于：xX，设，则，而，从而 xA，故 X A，反过来，X，故 A X，从而 AX；对于：xX，设，令 ，则可得，从而 am+2bn2，
7、an+bm0，解得，且 m，nQ，从而 xB，故 X B，反过来，故 B X，从而 BX；对于：取，则 x1+x20X，从而 C 不是 X 的子集，故 CX；对于：xX，设，则，取，则 xD，即 X D，反过来 x1，x2X 时，x1x2X，故 D X，故 DX 综上，正确，故答案为：【点睛】本题考查集合的运算，尤其是集合相等，需要将两个集合中的元素相互转化为彼此的形式结构，借助双包含来证明或举反例，可借助待定系数法 12.设集合，若非空集合 同时满足，（其中表示 中元素的个数，表示集合 中最小元素），称集合 为 的一个好子集，的所有好子集的个数为_.【答案】【解析】【分析】对的取值为、进行分
8、类讨论，列举出在在对应取值下集合，由此得出符合条件的集合 的个数.【详解】由题意可知，的取值为、.（1）当时，则；（2）当时，则符合条件的集合 有：、，共个；（3）当时，则符合条件的集合 有：、，共 个；（4）当时，则符合条件的集合 有：、，共 个；（5）当时，则符合条件的集合 为.综上所述，的所有好子集的个数为.故答案为：.【点睛】本题考查符合集合新定义的集合个数，解题时要明确题中集合的定义，采用列举法列举出符合条件的集合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.二、选择题 13.已知实数、满足，那么“”是“”成立的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必
9、要条件【答案】B【解析】【分析】由，可得出，由可知，然后再根据已知条件以及逻辑性关系推导出两者间的充分不必要条件关系.【详解】，若，则必有，由，可得出，则；另一方面，若，且，则，事实上，若，则.则.因此，“”是“”成立的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了不等式性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中等题.14.已知原命题“如果，那么关于不等式的解集为”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】B【解析】【分析】根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可【详解】若不等式（a24
10、）x2+（a+2）x10 的解集为”，则根据题意需分两种情况：当 a240 时，即 a2，若 a2 时，原不等式为 4x10，解得 x，故舍去，若 a2 时，原不等式为10，无解，符合题意；当 a240 时，即 a2，（a24）x2+（a+2）x10 的解集是空集，解得2a，综上得，实数 a 的取值范围是2，则当1a1 时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有 2 个，故选：B【点睛】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，考查了分类讨论与转化思想 15.已知平面截一球面得圆，
11、球中过小圆心 的直径为，过点 且与成角的平面截该球面得圆，若该球的半径为 4，圆 的面积为，则圆 的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】先求出圆 M 的半径，然后根据勾股定理求出 OM 的长，找出线面角，从而求出 ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径，从而求出面积【详解】圆 M 的面积为 4，圆 M 的半径为 2，根据勾股定理可知 OM2，过点 且与成角的平面截该球面得圆，OMN30，在直角三角形 OMN 中，ON2，圆 N 的半径为，圆 N 的面积为：13 故选：D 【点睛】本题考查二面角的平面角，以及球的截面问题，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属
12、于中档题 16.已知函数的反函数为，则函数的值域是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依题意，求得 f1（x），（x1，4），进而得到f1（x）2+f1（2x）的解析式及定义域，利用单调性，可得 y 的值域【详解】依题意，f1（x），（x1，4），所以函数 yf1（x）2+f1（2x）x，其中 x 满足，即 1x2，又 yx为1，2上的增函数，所以函数 yf1（x）2+f1（2x）的值域是1，4，故选：C【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题解题时注意定义域优先的原则 三、解答题 17.设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，已知：，：满足，且是的
13、充分条件，求实数 的取值范围【答案】（，6）【解析】【分析】先解不等式 x2x20 得集合 A，再解不等式可得集合 B，从而可得 AB，再解不等式 2x+p0 得集合 C，由 是 的充分条件得 AB C，由集合间的包含关系可得 p 的取值范围【详 解】依 题 意，得 A x|x2 x 2 0 （，1）（2，+），于是可解得 AB（2，3设集合 Cx|2x+p0，则由于 是 的充分条件，所以 AB C则须满足所以，实数 p 的取值范围是（，6）【点睛】本题考查了充分条件的判断与集合的关系，训练了解不等式的能力，解题时要把握推理方向，准确运算 18.已知函数（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】
14、【分析】（1）利用该函数的被开方数大于等于零得出该函数有意义需满足的不等式，结合恒成立问题得出字母 m 满足的不等式；（2）通过配方法将函数的被开方数写成二次函数的顶点式，求出 y 的最小值为 f（m），借助m 的范围求出 f（m）的值域【详解】（1）依题意，当 xR 时，mx26mx+m+80 恒成立当 m=0 时，xR；当 m0 时，即 解之得 0m1，故实数 m 的取值范围 0m1（2）当 m=0 时，y=2；当 0m1，y=ymin=因此，f（m）=（0m1），易得 088m8 f（m）的值域为0，2【点睛】解本题的关键是处理二次函数问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，
15、开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于 x 轴的交点个数；四是，区间端点值.19.已知三棱柱中，分别为棱的中点 （1）求证：（2）求直线与所成的角（3）若 为线段的中点，在平面内的射影为，求【答案】（1）见解析；（2）45；（3）【解析】【分析】（1）由 ACAB，ACAA1即可得出 AC平面 ABB1A1，于是 ACA1B；（2）以 A 为原点建立坐标系，求出和 的坐标，计算 cos即可得出直线 EF与 A1B 所成的角；（3）求出和平面 EFG 的法向量，则 sinHA1A|cos，|【详解】（1）AA1底面 ABC，AC 平面 ABC ACAA1 BAC
16、90，ACAB 又 A1A 平面 AA1B1B，AB 平面 AA1B1B，A1AABA，AC平面 A1ABB1 A1B 平面 A1ABB1，ACA1B（2）以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示：则 A1（0，0，1），直线 EF 与 A1B 所成的角为 45（3），（0，0，1）设平面 GEF 的法向量为（x，y，z），则，令，则 cos A1在平面 EFG 内的射影为 H，HA1A 为 AA1与平面 EFG 所成的角的余角，cosHA1A|cos|HA1A 【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与空间角的计算，属于中档题 20.已知集合 D（x1，x2）|x1
17、0，x20，x1+x2k（其中 k 为正常数）（1）设，求 的取值范围（2）求证：当时，不等式对任意恒成立（3）求使不等式对任意恒成立的的范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；（2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用 u 在上单调递增即可比较；（3）结合（2）将（3）转化为求使对恒成立的的范围，利用函数的单调性解决，或者作差法求解【详解】（1），当且仅当时等号成立，故 u 的取值范围为（2）由，又 k1，k210，f（u）u在上是增函数 所以 即当 k1 时不等式成立（3）记，则，即求使对恒成立的 k2的范围 由（2）知，要
18、使 对任意（x1，x2）D 恒成立，必有 0k1，因此 1k20，函数在上递减，在上递增，要使函数 f（u）在上恒有，必有，即 k4+16k2160，解得【点睛】本题考查不等式的综合应用，以及利用转化思想、函数思想转化为函数问题利用函数的单调性解决不等式问题，属于中档题 21.考虑下面两个定义域为（0，+）的函数 f（x）的集合：对任何不同的两个正数，都有，=对任何不同的两个正数，都有（1）已知，若，且，求实数 和 的取值范围（2）已知，且的部分函数值由下表给出：比较与 4 的大小关系（3）对于定义域为 的函数，若存在常数，使得不等式对任何都成立，则称 为的上界，将中所有存在上界的函数组成的集
19、合记作，判断是否存在常数，使得对任何和，都有，若存在，求出 的最小值，若不存在，说明理由【答案】（1）当 a0，b0 时，f（x）1且 f（x）2；（2）2d+t4；（3）0【解析】【分析】（1）根据：f（x）1且 f（x）2，可利用二次函数的单调性可得 a 的范围，利用导数求出 b 的范围（2）由 f（x）1，取 0 x1x2x1+x2，可得由表格可知：f（a）d，f（b）d，f（c）t，f（a+b+c）4，0abca+b+c，利用函数为增函数可得，再利用不等式的性质即可得出（3）根据增函数先证明 f（x）0 对 x（0，+）成立再证明 f（x）0 在（0，+）上无解即可得出【详解】（1）由
20、：对任何不同的两个正数，都有，=对任何不同的两个正数，都有，可得函数 y，y在（0，+）为增函数，y2x2+2ax+b，若 f（x）1，则0，即 a0 y2x+a，y2，当 b0，x0 时，y0，此时 f（x）2，不符合题意，舍去；当 b0 时，令 y0，解得 x，此时函数在 x（0，+）有极值点，因此 f（x）2 综上可得：当 b0 时，f（x）1且 f（x）2（2）由 f（x）1，若取 0 x1x2，则 由表格可知：f（a）d，f（b）d，f（c）t，f（a+b+c）4，0abca+b+c，d0，d，d，t，2d+t=4.（3）对任何 f（x）T 和 x（0，+），都有 f（x）M，先证明
21、 f（x）0 对 x（0，+）成立 假设存在 x0（0，+），使得 f（x0）0，记m0 y是增函数 当 xx0时，m0，f（x）mx2，一定可以找到一个 x1x0，使得 f（x1）mx12k，这与 f（x）k 对 x（0，+）成立矛盾 即 f（x）0 对 x（0，+）成立 存在 f（x）T，f（x）0 对 x（0，+）成立 下面证明 f（x）0 在（0，+）上无解 假设存在 x20，使得 f（x2）0，y是增函数 一定存在 x3x20，使0，这与上面证明的结果矛盾 f（x）0 在（0，+）上无解 综上，我们得到存在 f（x）T，f（x）0 对 x（0，+）成立 存在常数 M0，使得存在 f（x）T，x（0，+），有 f（x）M 成立 又令 f（x）（x0），则 f（x）0 对 x（0，+）成立，又有在（0，+）上是增函数，f（x）T，而任取常数 k0，总可以找到一个 xn0，使得 xxn时，有 f（x）k M 的最小值为 0【点睛】本题考查了函数的单调性，利用导数研究函数单调性和最值的关系，考查了构造函数的思想，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大