1、题目 第二章函数函数的概念与表示高考要求 1了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；2能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；3理解分段函数的意义通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础4. 克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导5. 函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素
2、的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题知识点归纳 函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作
3、y=f（x），xA，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域.2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对
4、应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一。5分段函数：（举一例）。6复合函数：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=fg(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。题型讲解 例1设集合，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ）A.8个 B.12个 C.16个 D.18个解：为奇
5、数，当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法故映射的个数是故选D.例2 集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立从A到B的映射个数是_，从B到A的映射个数是_.解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1339.反之从B到A，道理相同，有N22228种不同映射.答案：9 8例3 A=1，2，3，4，5，B=6，7，8从集合A到B的映射中满足f（1）f（2）f（3）f（4）f（5）的映射有（ ）A.27 B.9 C.
6、21 D.12解：（1）当全是等号时，（即与B中的一个元素对应），则f有C个; （2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有CC=12个; （3）有二个不等号的映射，f有CC=6个。所以共有3+12+6=21个，答案选C。另一种解释法：将元素1，2，3，4，5按照从小到大的顺序串成一串之间有4个节点。若只有一个象就让这一串整体对应有C3种方法；若恰有两个象就将这一串分为两段，并按照大小顺序对应，有CC12种方法；若恰有三个象就将这一串分为三段，并按照大小顺序对应，有CC6种方法。根据分类计数原理，共有3+12+6=21个映射。故选C。例4 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1
7、）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1.剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当nN*时，2
8、n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.（2）对于两个函数来
9、讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.例5某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，一直分裂下去（） 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；（）用图像表示1个细胞分裂的次数n(nN)与得到的细胞个数y之间的关系；解：（） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下分裂次数12345678细胞个数248163264128256（）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是y2n，nN变式：一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存KB，然后每分钟自身复制一次，
10、复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 _ 分钟，该病毒占据MB内存（MB=KB）.例6试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是 .解：的图像部分关于原点对称，部分关于轴对称，如 点评本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试例7某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系： （其中c为小于96的正常数）注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量（1）试将
11、生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？解：（1）当时，所以，每天的盈利额;当时，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件故，每天的盈利额.综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0当时，令，则故 当且仅当，即时，等号成立所以（i）当时，（等号当且仅当时成立）（ii） 当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）所以，所以，即（等号当且仅当时取得）综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润点评分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认
12、真对待例8 矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值解：（1），函数的解析式：；（2）在上单调递增，即的最大值为例9 函数对一切实数，均有成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，都有成立时，求的取值范围解：（1）由已知等式，令，得，又，（2）由，令得，由（1）知，在上单调递增，要使任意，都有成立，当时，,显然不成立当时，解得的取值范围是学生练习 题组一：1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是A.f:xy=|x|B.f:xy=C.f:xy=3xD.f:xy=log2（1+|x|）解析：指数函数的定义域是R，值
13、域是（0，+），所以f是xy=3x.答案：C2.设M=x|2x2，N=y|0y2，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是解析：A项定义域为2，0，D项值域不是0，2，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.答案：B3.已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（a）等于A.b B.b C. D. 解析：f（a）=lg=lg=f（a）=b.答案： B4.函数y=的定义域是A.，1）（1，B.（，1）（1，）C.2，1）（1，2D.（2，1）（1，2）解析：x1或1x.y=的定义域为，1）（1，.答案：A5.若函数f（x）=loga（x+1）（a0，a1）的定义域和值
14、域都是0，1，则a等于A. B. C. D.2解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是0，1，0x1，则1x+12.当a1时，0=loga1loga（x+1）loga2=1，a=2；当0a1时，loga2loga（x+1）loga1=0，与值域是0，1矛盾.综上，a=2.答案：D6.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，则在映射f下，象20的原象是A.2 B.3 C.4 D.5解析：由2nn20求n，用代入法可知选C.答案：C7.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率
15、是A.10%B.15%C.18%D.20%解析：设降价百分率为x%，2000（1x%）2=1280.解得x=20.答案：D8.设函数f（x）=则使得f（x）1的自变量x的取值范围为A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，10解析：f（x）是分段函数，故f（x）1应分段求解.当x1时，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1.当x1时，f（x）1413x10，1x10.综上所述，x2或0x10.答案：A9.已知f（x）=则不等式xf（x）+x2的解集是_.解析：x0时，f（x）=1，xf（x）+x2x1，0x1；当x0时，f（x）=0，xf（x）+x2x2，x0
16、.综上x1.答案：x|x110.已知函数y=logx与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则k的值等于A.B.C.D.解析：由点A在y=logx的图象上可求出A点纵坐标y=log2=.又A（2，）在y=kx图象上，=k2，k=.答案：A11.如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为y=f（x）. （1）求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解：（1）这个函数的定义域为（0，12）.当0x4时，S=f（x）=4x=2x；当4x8时，S=f（x）=
17、8；当8x12时，S=f（x）=4（12x）=2（12x）=242x.这个函数的解析式为f（x）= （2）其图形如右， 由图知，f（x）max=8.12.若f :y=3x+1是从集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.解：f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）或（2） aN，方程组（1）无解.解方程组（2），得a=2或a=5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.A=1，2，3，5，B=4，7，10，16.13.如果函数f（x）=（x+a）3对任意xR都有
18、f（1+x）=f（1x），试求f（2）+ f（2）的值.解：对任意xR，总有f（1+x）=f（1x），当x=0时应有f（1+0）=f（10），即f（1）=f（1）.f（1）=0.又f（x）=（x+a）3，f（1）=（1+a）3.故有（1+a）30a=1.f（x）=（x1）3.f（2）+f（2）=（21）3（21）313（3）326.14.集合M=a，b，c，N=1，0，1，映射f:MN满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:MN的个数是多少？解：f（a）N，f（b）N，f（c）N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，有0+0+0=0+1+（1）=0.当f（a）=f（b）=f（c）=0
19、时，只有一个映射；当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，1时，有CA=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.题组二：1设f：AB是从A到B的一个映射，其中A=B=(x,y)|xR,yR,f：(x,y)(x+y,xy),则A中(1,-2)的象是 ，B中(1,-2)的原象是 2设集合A=-1，0，1，B=2，3，4，5，6，映射AB，使对任意xA,都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f 的个数是 3已知集合A=1,2,3,4,B=-1,1,2,(1)集合A到B的映射共有多少个？(2)若集合B中的每一个元素都有原象，这样的映射共有多少个？（3）若集合B中元
20、素2必须要有原象，这样的映射共有多少个？4与函数y=的图象相同的函数是 ( )A.y=2x-1(x1/2) B.y=1/(2x-1) C.y=1/(2x-1)(x1/2) D.y=1/|2x-1|5.设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则f（1）+f（1）（ ）A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.以上结论都不对6（1），；（2），；（3），上述三个对应_是到的映射7已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合 （ ） 8给定映射，点的原象是_9下列函数中，与函数相同的函数是（ ） 10设函数，则_参考答案：1（-1，-2），(-1,2)和(2,-1)2552=50。当x为奇数时，f(x)任意，当x为偶数时，f(x)为奇数。3(1) 34 =81(2) =36 (3) 34-24=65或=654 C5. A.由图可知f（x）=ax（x+x1）（xx2）（a0），f（1）+f（1）= a（1+x1）（1x2）+a（1+x1）（1x2）=2a（x1 x2）0 ，故选A.6. （2）7. .解法要点：因为，所以8. 或9.C 10.8课前后备注
