1、题目 第八章圆锥曲线圆锥曲线的综合问题高考要求 (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 (4)了解圆锥曲线的初步应用 知识点归纳 解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的具体来说，有以下三方
2、面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出
3、错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号题型讲解 例1 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a0，b0），且交抛物线y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：+=；（3）当a=2p时，求MON的大小分析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+= 由=0易得MON=90亦可由kOMkON=1求得MON=90（1）解：直线l的截距式方程为+=1（2）证明：由+=1及y2=2px消去x
4、可得by2+2pay2pab=0点M、N的纵坐标为y1、y2，故y1+y2=，y1y2=2pa所以+=（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=当a=2p时，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1所以OMON，即MON=90点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力例2 已知椭圆C的方程为+=1（ab0），双曲线=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个
5、交点由上至下依次为A、B（如图）（1）当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当=时，求的最大值分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标将A的坐标代入椭圆方程可求得的最大值解：（1）双曲线的渐近线为y=x，两渐近线夹角为60，又0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件答案：B解析
6、：ac0曲线ax2+by2=c为椭圆反之成立2到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是A椭圆 BAB所在直线 C线段AB D无轨迹答案：C解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0x33若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为A1 B1 C D以上都不对答案：C 解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x2）代入椭圆方程（4+k2）x24k2x+4k24=0令=0，k=kmin=4以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为A B CD答案：D 解析：
7、建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=5已知F1（3，0）、F2（3，0）是椭圆+1的两个焦点，P是椭圆上的点，当F1PF2时，F1PF2的面积最大，则有Am=12，n=3 Bm=24，n=6 Cm=6，n= Dm=12，n=6答案：A解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=36 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比为2, 则动点M的轨迹方程为 ( ) A B C 3x2-y2-34x+65=0 D 3x2-y2-30x+63=0答案: D解析: , 两边平方即得3x2-y2-30x+63=07 P是椭圆上的动点, 作PDy轴, D为垂足, 则PD
8、中点的轨迹方程为( ) A B C D 答案: D 解析: 设PD中点为M(x, y), 则P点坐标为(2x, y), 代入方程, 即得8 已知双曲线,(a0,b0), A1、A2是双曲线实轴的两个端点, MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A1M与A2N交点的轨迹方程是( ) A B C D 答案: A 解析: 设 M(x1, y1), N(x1, -y1), A1M与A2N交点为P (x,y), A1 (-a,0), A2(a,0), 则A1 M的方程是,A2M的方程是, 两式相乘, 结合即得9 抛物线的准线l的方程是y=1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一
9、个端点Q的轨迹方程是( ) A (x-1)2=-8(y-1) B (x-1)2=-8(y-1) (x1) C (y-1)2=8(x-1) D (y-1)2=8(x-1) (x1)答案: B 解析: 设焦点为F, Q(x,y), 则由抛物线定义得: , 化简即得10双曲线9x216y2=1的焦距是_答案：解析：将双曲线方程化为标准方程得=1a2=，b2=，c2=a2+b2=+= c=，2c=11若直线mx+ny3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为_；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有_个答案：0m2+n23 ， 2 解析：将直线mx+ny3=0
10、变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y26ny+93m2=0令0得m2+n23又m、n不同时为零，0m2+n23 由0m2+n23，可知|n|，|m|1k0k（1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1k3k20k（，1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1k=3k20k=1，表示的是一个圆；（1k）（3k2）0k（，）（1，），表示的是双曲线；k=1，k=，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在（2）由（k2+k6）（6k2k1）0（k+3）（k2）（3k+1）（2k1）0k（3，）（，2）15 设为坐标原点, 为直线上动点, , , 求点的轨迹方程解: 设, 则由 得: , 即 , 由得: , 将代入得: , 且所求点的轨迹方程为: 16 半径为R的圆过原点O, 圆与x轴的另一个交点为A, 构造平行四边形OABC, 其中BC为圆在x轴上方的一条切线, C为切点, 当圆心运动时, 求B点的轨迹方程 解: 设圆心为M(x0, y0), B(x,y), ，又 BC为圆的切线, 得: , 课前后备注