1、第2讲两条直线的位置关系考纲解读1.能用方程组的方法求出两条直线的交点坐标,根据两条直线的斜率能判断两条直线的平行或垂直(重点)2.能够利用两点间距离公式、点到直线的距离公式解决相关的数学问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看,本讲内容很少独立命题预测2020年高考会与其他知识结合考查两直线的位置关系,求直线方程(如与导数、圆锥曲线结合)、面积等问题题型为客观题,试题难度一般不大,属中档题型.1两直线的平行、垂直与其斜率的关系2三种距离3常用的直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3)过直
2、线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R),但不包括l2.1概念辨析(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交()(4)已知直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1l2,则A1A2B1B20.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)若直线mx2ym0与直线3mx(m1)y70平行,则m的值为()A7B0或
3、7C0D4答案B解析直线mx2ym0与直线3mx(m1)y70平行,m(m1)3m2,m0或7,经检验,都符合题意故选B.(2)过点(1,0)且与直线x2y20垂直的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20Dx2y10答案C解析直线x2y20的斜率是,与之垂直的直线的斜率是2,所以要求的直线方程是y02(x1),整理得2xy20.(3)原点到直线x2y50的距离是_答案解析原点到直线x2y50的距离d.(4)已知点P(1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称,则直线l的方程为_答案xy40解析线段PQ的中点坐标为(1,3),直线PQ的斜率k11,直线l的斜率k21,直线l的方程为xy4
4、0.题型 两条直线的位置关系1若三条直线y2x,xy3,mx2y50相交于同一点,则m的值为_答案9解析由得点(1,2)满足方程mx2y50,即m12250,m9.2(2018青岛模拟)已知两条直线l1:axby40和l2:(a1)xyb0,求满足下列条件的a,b的值(1)l1l2,且l1过点(3,1);(2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)由已知可得l2的斜率存在,且k21a.若k20,则1a0,a1.l1l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b0.又l1过点(3,1),3a40,即a(矛盾),此种情况不存在,k20,即k1,k2都存在且不为0.k21a,k1,l1l2,k1
5、k21,即(1a)1.又l1过点(3,1),3ab40.由联立,解得a2,b2.(2)l2的斜率存在,l1l2,直线l1的斜率存在,k1k2,即1a,又坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1l2,l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即b,联立,解得或a2,b2或a,b2.条件探究把举例说明2中两条直线方程改为“l1:ax2y60,l2:x(a1)ya210”,分别求:(1)当l1l2时a的值;(2)当l1l2时a的值解(1)解法一:当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1不平行于l2;当a0时,l1:y3,l2:xy10,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线方程可化为l1:yx3,l2
6、:yx(a1),由l1l2可得解得a1.综上可知,a1.解法二:由l1l2知即a1.(2)解法一:当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1与l2不垂直,故a1不符合;当a1时,l1:yx3,l2:yx(a1),由l1l2,得1a.解法二:l1l2,A1A2B1B20,即a2(a1)0,得a.1已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.2由一般式确定两直线位置关系的方法注意:在判断两直线位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答 1已知直线l1:(m4)x(
7、2m4)y2m40与l2:(m1)x(m2)y10,则“m2”是“l1l2”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件答案B解析若m2,则l1:6x80,l2:3x10,l1l2.若l1l2,则(m4)(m2)(2m4)(m1)0,且(m4)1(m1)(2m4),解得m2或m2.“m2”是“l1l2”的充分不必要条件故选B.2已知直线l1:axy60与l2:x(a2)ya10相交于点P,若l1l2,则a_,此时点P的坐标为_答案1(3,3)解析若l1l2,则a11(a2)0,解得a1.解方程组得所以点P的坐标为(3,3)3设直线mxym20过定点A,则过点A且与直线
8、x2y10垂直的直线方程为_答案2xy0解析直线mxym20可化为m(x1)y20,定点A的坐标为(1,2)直线x2y10的斜率为,所求直线的斜率为2,所求直线的方程为y22(x1),即2xy0.题型 距离问题1若直线l1:xay60与l2:(a2)x3y2a0平行,则l1与l2之间的距离为()A.B4CD2答案C解析若l1l2,则13a(a2)0,解得a1或3.经检验a3时,两条直线重合,舍去所以a1,此时有l1:xy60,l2:3x3y20,即xy0,所以l1与l2之间的距离d.2已知点A(5,2a1),B(a1,a4),若|AB|取得最小值,则实数a的值是_答案解析由题意得|AB|,所以
9、当a时,|AB|取得最小值3点P为x轴上一点,P点到直线3x4y60的距离为6,则P点坐标为_答案(12,0)或(8,0)解析设P(a,0),则有6,解得a12或a8.P点坐标为(12,0)或(8,0)距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解,也可以转化成点到直线的距离问题 1若P,Q分别为
10、直线3x4y120与6x8y50上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.BCD答案C解析易知直线3x4y120与6x8y50平行,所以|PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6x8y50可化为3x4y0,这两条平行线间的距离是.2已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点A(1,3)到直线l的距离为,则直线l的方程为_答案y7x或yx或xy20或xy60解析当直线过原点时,设直线方程为ykx,由点A(1,3)到直线l的距离为,得,解得k7或k1,此时直线l的方程为y7x或yx;当直线不过原点时,设直线方程为xya,由点A(1,3)到直线l的距离为,得,解得a2或a6,此时直线l的方程为xy20或
11、xy60.综上所述,直线l的方程为y7x或yx或xy20或xy60.题型 对称问题1已知入射光线经过点M(3,4),被直线l:xy30反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为_答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l:xy30的对称点为M(a,b),则反射光线所在直线过点M,所以解得又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6xy60.2已知直线l:2x3y10,点A(1,2)求:(1)点A关于直线l的对称点A的坐标;(2)直线m:3x2y60关于直线l的对称直线m的方程;(3)直线l关于点A(1,2)对称的直线l的方程解(1)设A(x,y),再由已知解得A
12、.(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a,b),则解得M.设m与l的交点为N,则由得N(4,3)又m经过点N(4,3),由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)解法一:在l:2x3y10上任取两点,如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A的对称点M,N均在直线l上易知M(3,5),N(6,7),由两点式可得l的方程为2x3y90.解法二:设P(x,y)为l上任意一点,则P(x,y)关于点A(1,2)的对称点为P(2x,4y),P在直线l上,2(2x)3(4y)10,即2x3y90.解法三:ll,设l的方程为2x3yc0(c1
13、),由点到直线的距离公式得,解得c9或c1(舍去),l的方程为2x3y90.1中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点的对称若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称,主要求解方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程如举例说明2(3)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:AxByC0对称,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x
14、2,y2)(其中B0,x1x2)如举例说明1,举例说明2(1)(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行 已知直线l:3xy30,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点;(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程;(3)直线l关于(1,2)的对称直线解(1)解法一:设P(x,y)关于直线l:3xy30的对称点为P(x,y),kPPkl1,即31.又PP的中点在直线3xy30上,330.由得把x4,y5代入得x2,y7,点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7)解法二:设点P(4,5)关于l的对称点为M(m,
15、n)PM与l垂直,且PM的中点在直线l上,解得点P(4,5)关于l的对称点为(2,7)(2)解法一:用分别代换xy20中的x,y,得关于l对称的直线方程为20,化简得7xy220.解法二:设直线xy20关于直线l对称的直线为l.解方程组得即两直线的交点为,则点在直线l上取直线xy20上一点Q(2,0),则点Q(2,0)关于直线l的对称点Q(a,b)在l上QQ与l垂直,且QQ的中点在l上解得Q,l的斜率为7,直线l的方程为y7,即7xy220.(3)在直线l:3xy30上取点M(0,3),关于(1,2)的对称点M(x,y),1,x2,2,y1,M(2,1)l关于(1,2)的对称直线平行于l,k3,对称直线方程为y13(x2),即3xy50.