1、专题三：数 列第一讲 等差数列、等比数列【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：1弄清等差、等比数列的基本概念及性质，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式。2掌握特殊数列的求和方法。如：倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和等。3利用数列中与之间的关系，求能项公式及解决其他数列问题。4利用数列的递推关系,求通项公式,结合n项和公式,解决数列应用题。5数列经常与函数、三角、不等式、解析几何等知识结合，综合考查等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式的应用。6利用方程的思想、根据公式列方程（组），解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题；利用函数的思想或
2、根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n项和的最值问题；利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问题转化为等差、等比数列问题来解决；利用分类讨论的思想解决等比数列的公比q是否为1等问题。7结合数学归纳法解决一类归纳猜想证明的题目。第一讲 等差数列、等比数列【最新考纲透析】1数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。2等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念。（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。【核心要点突破】要点考向1：有关等差数列的基本问题考情聚焦：1等差
3、数列作为高考中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。2该类问题一般独立命题，考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n项公式，有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。3多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。考向链接：1涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；2等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d0,递增；d0，递减）；3证明数列为等差数列有如下方法：定义法；证明（与n值无关的常数）；等差中项法：证明。例1：（2010浙江高考文科19）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为S
4、n，满足+15=0。（）若=5，求及a1；（）求d的取值范围。【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n项和求解即可。【规范解答】()由题意知S6=-3, =S6-S5=-8。所以解得a1=7，所以S6= -3,a1=7()方法一：因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28. 故d的取值范围为d-2或d2.方法二：因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a
5、1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.看成关于的一元二次方程，因为有根，所以，解得或。要点考向2：有关等比数列的基本问题考情聚焦：1等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。2该类问题有时单独命题，考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式；但更多的是与函数的单调性、不等式结合在一起，在知识交汇点处命题。3选择、填空及解答题中都有可能出现，属中、高档题。考向链接：（1）证明数列为等比数列有如下方法：定义法：证明。等比中项法：。（2）求一般数列通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。例2：（2010辽宁高考理科6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和
6、。已知a2a4=1, ,则( )（A） (B) (C) (D) 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式【思路点拨】列出关于a1 q 的方程组，解出a1 q 再利用前n项和公式求出【规范解答】选B。根据题意可得：要点考向3：等差、等比数列综合问题考情聚焦：1等差、等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所体现。2单独考查等差数列或等比数列的问题较少，大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现，在两知识的交汇点处命题，同时考查其他数学知识、思想方法等。3多以解答题的形式出现，属中、高档题目。例3：（2010陕西高考理科6）已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列（
7、）求数列的通项公式，（）求数列的前n项和【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前项和公式的应用，考查考生的运算求解能力【思路点拨】已知关于d的方程d【规范解答】【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。2数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。4解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件
8、，明确解题方向，形成解题策略【高考真题探究】1（2010福建高考理科3）设等差数列的前n项和为。若，则当取最小值时，n等于（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【命题立意】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。【思路点拨】 。【规范解答】选A，由，得到，从而，所以，因此当取得最小值时，.=，又，故，从而,.2（2010辽宁高考文科3）设为等比数列的前n项和，已知,则公比q = ( )(A)3(B)4(C)5(D)6【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式。【思路点拨】两式相减，即可得到相邻两项的关系，进而可求公比q。【规范解
9、答】选B，两式相减可得：,。故选B。3（2010福建高考理科11）在等比数列 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式= 。【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式。【思路点拨】由前3项之和等于21求出 ，进而求出通项。【规范解答】选A，, 【方法技巧】另解：，4（2010辽宁高考文科14）设Sn为等差数列an的前n项和，若S3=3，S6 =24，则a9= .【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式【思路点拨】根据等差数列前n项和公式，列出关于首项a1和公差d的方程组，求出a1和d，再求出【规范解答】记首项a1公差d,则有。【答案】1
10、55（2010浙江高考文科14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。123246369第1列 第2列 第3列 第1行第2行第3行【命题立意】本题主要考察了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题。【思路点拨】解决本题要先观察表格，找出表中各等差数列的特点。【规范解答】第n行第一列的数为n，观察得，第n行的公差为n，所以第n0行的通项公式为，又因为为第n+1列，故可得答案为。【答案】6（2010北京高考文科6）已知为等差数列，且，。（）求的通项公式；（）若等比数列满足，求的前n项和公式【命题立意】本题考查等差数列的
11、通项公式等比数列的前n项和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。【思路点拨】（1）由可列方程解出，从而可求出通项公式；（2）求出，再求出公式。代入等比数列的前n项和公式即可。【规范解答】（）设等差数列的公差。 因为 所以 解得，所以 （）设等比数列的公比为 因为 所以 即=3所以的前项和公式为【跟踪模拟训练】一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）1.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2=1，a3=3，则S4=( )(A)12(B)10(C)8(D)62.设数列xn满足log2xn+1=1+log2xn,且x1+x2+x3+x10=10,则x11+x12+x13+x20
12、的值为( )(A)10211(B)10210(C)11211(D)112103.已知正数组成的等差数列an，前20项和为100，则a7a14的最大值是( )(A)25(B)50(C)100(D)不存在4.已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=( )A35 B.33 C.31 D.295. 设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是( )A、B、C、D、6. （2010潍坊模拟）已知数列an是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9S8=S7，则下列说法不正确的是（ ）AS9S10 Bd0,a7a14()2=25.4. 【解析】选 由，又 得 所以， ， 5. 【解析】选 D，设等比数列的公比为，由题意，所以，故D正确。6. 【解析】选A 由题意知d1.(1)证明：an是等比数列；(2)当a1a2an时，试确定k的取值范围.【解析】（1）Sn=(k-2)+kan,Sn+1=(k-2)+kan+1,所以an+1=Sn+1-Sn=kan+1-kan,
