1、第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲解读1.理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理)(重点)2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，对两个计数原理很少独立命题. 预测2020年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识. 试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.1两个计数原理2两个计数原理的区别与联系1概念辨析(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分步乘法计数原理中，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法
2、是各不相同的()(4)如果完成一件事情有n个不同的步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)从甲地到乙地，每天飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有()A22种 B33种 C300种 D3600种答案B解析由分类加法计数原理知共有51061233种出行方案(2)某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有()A8种 B15种 C35种 D53种答案C解析发5封不同的电子邮件，分5步，每一步有3种方法，由分步乘法
3、计数原理得不同的发送方法有35种(3)从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有()A30个 B42个 C36个 D35个答案C解析abi为虚数，b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数(4)如图，要让电路从A处到B处接通(只考虑每个小并联单元只有一个开关闭合的情况)，可有_条不同的路径答案9解析分以下三种情况计数第一层有326种路径；第二层有1种路径；第三层有2种路径；由分类加法计数原理知，共有6129种路径题型 分类加法计数原理的应用1(2018石家庄模拟)满足a，b1,1,2，则关于x的方程ax22xb0有
4、实数解的有序数对(a，b)的个数为()A9 B8 C7 D6答案D解析由a，b的取值可知，ax22xb0有实数解的条件为224ab44ab0.当a1时，b1，1,2，共3种情况；当a1时，b1,1，共2种情况；当a2时，b1，有1种情况，共有3216种情况2已知椭圆1，若a2,4,6,8，b1,2,3,4,5,6,7,8，这样的椭圆有_个()A12 B16 C28 D32答案C解析解法一：若焦点在x轴上，则ab，a2时，有1个；a4时，有3个；a6时，有5个；a8时，有7个，共有135716个若焦点在y轴上，则ba，b3时，有1个；b4时，有1个；b5时，有2个；b6时，有2个；b7时，有3个
5、，b8时，有3个共有11223312个故共有161228个解法二：椭圆中ab，而ab有4种情况，故椭圆的个数为48428.1分类加法计数原理的用法及要求(1)用法：应用分类加法计数原理进行计数时，需要根据完成事件的特点，将要完成一件事的方法进行“分类”计算(2)要求：各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事2使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则提醒：对于分类类型较多，而其对立事件包含的类型较少的可用间接法求解 1三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲
6、开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A4种 B6种 C10种 D16种答案B解析分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法由分类加法计数原理，共有336种传递方法故选B.2(2019重庆模拟)在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足ab，且a，b都是集合1,2,3,4,5,6)中的元素又点P到原点的距离|OP|5，则这样的点P的个数为_答案20解析依题意可知，当a1时，b5,6,2种情况；当a2时，b5,6,2种情况；当a3时，b4,5,6,3种情况；当a4时，b3,5,6,3种情况；当a5
7、或6时，b各有5种情况由分类加法计数原理得点P的个数为22335520.题型 分步乘法计数原理1(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9答案B解析分两步，第一步，从EF，有6条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路径故选B.2某市汽车牌照号码可以网上自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母G，L中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主从左到右第一个号码只想
8、在1,3,5,7中选择，其他号码只想在1,3,6,8,9中选择，则供他可选的车牌号码的种数为()A21 B800 C960 D1000答案D解析分步完成从左到右第一个号码有4种选法，第二个号码有2种选法，第三个号码有5种选法，第四个号码有5种选法，第5个号码有5种选法，共有425551000种不同的选法条件探究把举例说明2中的条件“G，L”改为“B，C，D”，“1,3,5,7”改为“3,5,6,8,9”，“1,3,6,8,9”改为“1,3,6,9”，其他条件不变，应如何解答？解按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法因此车牌号码可选的所有可能
9、情况有53444960(种)1分步乘法计数原理的用法及要求(1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步”计算(2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各个步骤都完成，才算完成这件事2应用分步乘法计数原理的注意点(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事(2)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种答
10、案2880解析分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排故安排方式有43224(种)第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有54321120(种)故安排这8人的方式共有241202880(种)题型 两个计数原理的综合应用角度1与数字有关的问题1用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个答案B解析由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有243248个偶数；当万位数字为5时
11、，个位数字从0,2,4中任选一个，共有343272个偶数故符合条件的偶数共有4872120(个)角度2涂色、种植问题2(2019天津模拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A24 B48 C72 D96答案C解析分两种情况：A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有43224(种)涂法A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有432248(种)涂法故共有244872种涂色方法角度3分配问题3某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级的学生平均分配到甲、乙两家公司，其
12、中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一家公司，另3名擅长电脑的学生也不能分给同一家公司，则不同的分配方案有()A36种 B38种 C108种 D114种答案A解析由题意可知，有2种分配方案：分给甲公司2名擅长电脑的学生，有3种可能；1名英语成绩优秀的学生，有2种可能；再从剩下的3人中选1人，有3种可能，共有32318种分配方案分给甲公司1名擅长电脑的学生，有3种可能；1名英语成绩优秀的学生，有2种可能；再从剩下的3人中选2人，有3种可能，共有32318种分配方案由分类加法计数原理，可知不同的分配方案共有181836(种)，故选A.1利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什
13、么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解2与数字有关的问题的解题思路一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步计数，当分类较多时，也可用间接法求解如举例说明1.3涂色(种植)问题的解题关注点和关键(1)关注点：分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素(2)关键是对每个区域逐一进行，分步处理如举例说明2.4分配问题的解题思路一般按分配规则总体分类，每类中再分步计数如举例说明3.提醒：对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化，以图助解.1(2018吉林省实验中学四模)某山区希
14、望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量高的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有()1234A.9种 B18种 C12种 D36种答案B解析给四块菜地分别标记为1号位，2号位，3号位，4号位，若有两块菜地种植西红柿，则它们在1、3,1、4或2、4号位，其他两号位分别种植黄瓜和茄子，所以共有326种种植方式同理，两块菜地种植黄瓜或茄子也都有6种种植方式，所以共有6318种种植方式故选B.2(2018石家庄模拟)为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能
15、培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为_(用数字作答)答案24解析若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有32212(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有23212(种)方案，所以共有24种推荐方案3(2018湖北模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如22,121,3443,94249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则：(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN*)位回文数有_个答案(1)90(2)910n解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法共计91090(种)填法，即4位回文数有90个(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格由计数原理，共有910n种填法