1、理解函数的周期性与对称性的概念，能综合运用函数的性质解题 ()()(2)_()()_.1f xf axf a xf xfa xf xf axf b xf x如果函数满足=-或=-，则函数的图象关于直线对称一般的，若=-，则函数的对称轴方函数的对程称性是 _()()(0)_2_.yf xxDTxDf xTyf xf xxf xaf xf xaaf x函数的周期性的定义：设函数，若存在非零常数，使得对任意的都有，则函数为周期函数，为的一个周期若函数对定义域中任意 满足 或，则函数是周期函数，它的一函数的周期性个周期是 2()2abxaxf xTf xa ；【点指南；要】1.函数 f(x)2x25x
2、1 的对称轴方程为 x54.【解析】二次函数对称轴方程为 x b2a 52254.2.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)1，则 f(2010)f(2011)()A1B1C2D2【解析】由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，则 f(0)0且满足f(2010)f(0)0，f(2011)f(54021)f(1)f(1)1.故 f(2010)f(2011)1.3.函数 f(x)4x12x 的图象()A关于原点对称B关于 x 轴对称C关于 y 轴对称D关于直线 yx 对称【解析】因为 f(x)4x12x 2x2x，所以 f(x)2x2xf(x)，即 f(x)为偶函数，故图
3、象关于 y 轴对称，故选 C.4.设 f(x)满足 f(x32)f(x)，且 f(x)是奇函数若 f(1)1，f(2)a，则下列结论正确的是()Aa2Ba1Da1【解析】由已知得 f(x3)f(x)，所以 f(x)的周期是 3，且是奇函数，所以 af(2)f(31)f(1)f(1)f(3)Bf(2)f(5)Cf(3)f(5)Df(3)f(6)【解析】由已知，f(x)的对称轴方程是 x4，所以 f(3)f(5)f(6)一 函数周期性及其应用【例 1】已知函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若 f(1)2，求 f(99)的值；(3)若当 x0,2时，f
4、(x)x，试求 x4,8时函数 f(x)的解析式【解析】(1)由题意 f(x)0，则 f(x2)13fx.用 x2 代替 x 得 f(x4)13fx2f(x)，故 yf(x)为周期函数，且周期为 4.(2)若 f(1)2，则 f(99)f(2443)f(3)13f1132.(3)当 x4,6时，x40,2，则 f(x4)x4，又周期为 4，所以 f(x)f(x4)x4.当 x6,8时，x60,2，则 f(x6)x6，根据周期为 4，则 f(x6)f(x2)x6.又根据已知 f(x)f(x2)13，得 f(x2)13fx，所以 f(x)13fx213fx2 13x6.所以解析式为 f(x)x4
5、4x613x660)；同理，f(xa)f(x)，f(xa)1fx，f(xa)1fx，可推得周期 T2a(a0)；若 f(x)为奇函数，且关于直线 xa 对称，则其周期 T4a(a0)；若 f(x)为偶函数，又关于直线 xa 对称，则其周期 T2a(a0)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足：f(x)f(2x)；当 0 x1 时，f(x)x2.(1)判断函数 f(x)是否是周期函数；(2)求 f(5.5)的值素材1【解析】(1)由fxf2xfxfxf(x)f(2x)f(x)f(x2)f(x)是周期为 2 的周期函数(2)f(5.5)f(41.5)f(1.5)f(0.5)0.25.二
6、函数对称性及其应用【例 2】(1)已知函数 f(x)对任意 xR 都有 f(x4)f(x)2f(2)，若 yf(x1)的图象关于直线 x1 对称，且 f(1)2，则 f(2015)()A6B4C3D2(2)(2012锦阳一诊)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，已知 x(0,1)时，f(x)log12(1x)，则函数 f(x)在(1,2)上()A是增函数，且 f(x)0C是减函数，且 f(x)0【解析】(1)由 yf(x1)的图象关于直线 x1 对称，则 yf(x)的图象关于直线 x0(即 y 轴)对称，故 yf(x)为偶函数，令 x2，则 f(2)f(2)2f(2)，得 f(
7、2)0，所以 f(x4)f(x)0，故 yf(x)的周期为 4，故 f(2015)f(50441)f(1)f(1)2，故选 D.(2)f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，由 x(0,1)时，f(x)log12(1x)是增函数且 f(x)0，得函数 f(x)在(2,3)上也为增函数且 f(x)0，而直线 x2 为函数的对称轴，则函数 f(x)在(1,2)上是减函数，且 f(x)0，故选 D.【点评】(1)判断函数的周期性只需证明 f(xT)f(x)，则周期为 T(T0)；(2)函数的奇偶性、周期性、对称性三者中知二推一，综合应用；(3)函数性质与函数图象息息相通、互相补充，用于解题
8、设函数 f(x)定义域为 R，且其图象关于直线 x2 对称，同时关于直线 x7 对称，在区间0,7上只有 f(1)f(3)0.(1)试判断 yf(x)的奇偶性；(2)求 f(23)的值素材2【解析】(1)因为 f(x)在0,7上只有 f(1)f(3)0，所以 f(0)0，故 f(x)不是奇函数又因为 f(x)关于 x2 对称，所以 f(2x)f(2x)，则 f(1)f(5)0.而 f(1)0，所以 f(1)f(1)，故 f(x)不是偶函数，因此 f(x)是非奇非偶函数(2)因为 f(x)关于直线 x2 及 x7 对称，则对任意 xR 有 f(4x)f(x)，f(14x)f(x)，所以 f(4x
9、)f(14x)，即 f(x10)f(x)，所以 f(x)是以 10 为周期的周期函数所以 f(23)f(1023)f(3)0.三 函数性质的综合应用【例 3】设 f(x)是定义在 R 上的奇函数且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x)，当 x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证 f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2011)的值【解析】(1)f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的函数(2)x2,0时，x0,2，f(x)2xx2，因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)2xx2
10、，所以 f(x)2xx2，当 x2,4时，x42,0，所以 f(x4)2(x4)(x4)2，因为 f(x)以 4 为周期，所以 f(x4)f(x)(x4)22(x4)x26x8.(3)由(1)、(2)可知 f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1，所以 f(0)f(1)f(2)f(2011)503f(0)f(1)f(2)f(3)0.设函数 f(x)x1x的图象为 C1，C1 关于点 A(2,1)对称的图象为 C2，C2 对应的函数为 g(x)(1)求 g(x)的解析式；(2)当直线 ym 与 C2 只有一个交点时，求实数 m 的值，并求出公共点坐标素材3【解析】(1)设点 P(x，y)，
11、Q(x，y)分别为 f(x)和g(x)的图象上的任意一点，且 P，Q 关于点 A 对称，则xx2yy21，所以x4xy2y.于是，2y4x 14x，得 yx 1x42，即函数 g(x)的解析式为 yx 1x42.(2)直线 ym 与 C2 只有一个交点，即方程 mx 1x42 只有一个解，化简方程得 x2(6m)x4m90，则(6m)24(4m9)m24m0，解得 m0 或 m4.当 m0 时，x3，公共点坐标为(3,0)；当 m4 时，x5，公共点坐标为(5,4)备选例题若函数 yf(x)关于点(a，b)成中心对称，则一定有 f(x)f(2ax)2b；反之，也成立；试探究函数 f(x)52x
12、12x1 的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由【解析】假设函数 f(x)存在对称中心，设其坐标为(h，k)，则对任意 xR 有 f(hx)f(hx)2k 恒成立，即52hx12hx1 52hx12hx1 2k，整理得(42k)2hx(42k)2hx(102k)22h22k0，于是有42k0102k22h22k0，解之得 h0，k2，故 yf(x)的对称中心为(0,2)1(0)2 13ZTf xkT kkf xf xyf xf xyf x若 是的一个周期，则，也是的周期 若函数存在两条平行于 轴的对称轴，则函数是周期函数；若函数具有奇偶性，又有一条平行于 轴的对称轴，则函数是周期函数注意函数性质的逆向应用