1、题目 第七章直线和圆的方程曲线和方程高考要求 1了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程，画出方程所表示的曲线 2在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法3渗透数形结合思想知识点归纳1平面解析几何研究的主要问题：根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质 2“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点
2、都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 3定义的理解：设P=具有某种性质(或适合某种条件)的点，Q=(x，y)|f(x，y)=0，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题这种
3、“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法4求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称“五步法”，在步骤中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程5由方程画曲线(图形)的步骤：讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；求截距：讨论曲线的范围；列表、描点、画线6交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲
4、线方程组成的方程组7曲线系方程：过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)f2(x，y)=0(R)求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法一个点的运动是受某些因素影响的所以求轨迹问题时，我们经常要分析作图过程，顺藤摸瓜，从中找出影响动点的因素最后确定一个或几个因素作为基本量，找出它们和动点坐标的关系，列出方程这就是参数法题型讲解 例1 已知ABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且acb,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程解：|BC|+|CA|=42,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为
5、2, 短轴长为2, 椭圆方程为, 又ab, 点C在y轴左侧，必有x0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x2, 因此点C的轨迹方程是：(2x0)点评：本题在求出了方程以后讨论x的取值范围，实际上就是考虑条件的必要性例2 若a(0,1, 则曲线y=x2与x2+(ya)2=1的交点个数是 解：将y=x2代入x2+(ya)2=1得：y2+(12a)y+a21=0,(1)若a=1,则y2y=0, y=1或y=0, x有三个解,两曲线有三个交点;(2)若0a1,则a210, 方程仅有一正根，两曲线有两个交点例3 已知抛物线C：y=x2+mx1,点A(3,0),B(0,3)，若抛物线C与线段AB有两个交点
6、，求m的取值范围先分析如下解法：线段AB所在的直线方程是x+y=3,由方程组： (1) 消去y得： x2(m+1)x+4=0 (2) , 设f(x)= x2(m+1)x+4, 由于抛物线与线段AB有两个不同交点，故方程f(x)=0在区间0,3上有两个不同根， 30, (2+k)280, 解得k+22 或 k+2 或 x 或 x0)例5 设直线xy=4a与抛物线y2=4ax 交于两点A，B (a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程分析：，是定点，影响ABC的重心运动的因素是抛物线上的动点，故选点的坐标作参数解：设ABC的重心为G(x,y) ,点C的坐标为C(x0,y0),A(
7、x1,y1), B(x2,y2) 由方程组：消去y并整理得：x212ax+16a2=0 x1+x2=12a, y1+y2=(x14a)+(x24a)=(x1+x2)8a=4a由于G(x,y)为ABC的重心, , 又点C(x0,y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)2=4a(3x12a), 即(y)2 = (x4a)又点C与A，B不重合，x (6)a点评：与动点相关的点的坐标，也是常用的参数，即“点参数”本题用代入消元法消去了两个参数x0,y0,在设点参数时，经常使用这种消元技巧应重视对化简后方程的检验，检验时要注意观察特殊位置例6 椭圆的准线垂直于X轴，离心率为1/2，
8、并且经过点A(1,1)，B(2,2)，求椭圆中心的轨迹方程分析：分析影响椭圆中心运动的因素可知，当椭圆的中心到准线的距离发生变化时，中心将产生变化，因此可以考虑选择几何参数a,c作为参数,一般参数个数应尽量少解：设椭圆的中心坐标为M(x0,y0) , 长半轴长为a,短半轴长为b, 半焦距为c, 则e = c/a =1/2 a=2c, b2=3c2椭圆的方程为: (尽量减少参数的个数)点A, B在椭圆上，所以将它们的坐标代入椭圆方程得： 即 消去c2, 得：6x0+8y021=0, 即椭圆中心的轨迹方程为：6x+8y21=0例7 试根据下列条件分别求曲线C1与C2的方程(1)C1的一个焦点为F(
9、1,0),对应的准线方程为x=1,且曲线C1过点P(3,2);(2)C2的离心率为e=/3,一条准线方程为y=1/e, 且中心在原点解：用定义法(1)点P到准线的距离为3(1)=4=|PF|, e=1, 曲线C1为抛物线，其方程为y2=4x;(2)e=, 曲线C2为椭圆, 设C2的方程为: (ab0),则e=及,可得 a=1, c=,b2=a2c2=C2的方程为 =1例8 已知常数a0，向量，经过定点A（0，a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中（）求点P的轨迹C的方程；（）若过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求的取值范围解：（）设P点的坐标为
10、（x，y），则又由题知向量与向量又向量与向量两方程联立消去参数，得点P（x，y）的轨迹方程是 （），故点P的轨迹方程为此时点E（0，1）为双曲线的焦点若直线l的斜率不存在，其方程为x=0，l与双曲线交于、， 此时 若直线l的斜率存在，设其方程为化简得 直线l与双曲线交于两点，设两交点为， 则此时当当综上所述，的取值范围是 例9 已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使 得以线段AB为直径的圆经过点D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由解
11、：（1）设P的坐标为，由得（化简得 P点在双曲线上，其方程为（2）设A、B点的坐标分别为、，由 得，AB与双曲线交于两点，0，即解得若以AB为直径的圆过D（0，2），则ADBD，即小结：参数的选择多种多样，应视具体情况而定 常见的参数有k参数、点参数也可以选有几何意义的量如角参数、参数a,b,c等(在物理学中，研究物体的运动轨迹时，还可以选择时间作参数,如平抛物体的轨迹等都是利用参数求轨迹的实例) 恰当选择参数，可以简化解题过程解题时应先对动点的形成过程进行分析，确定参数，探求几何关系，建立参数方程处理涉及直线和二次曲线交点问题时，重视“设点不求”，用韦达定理进行整体运算的方法和策略对参数方程
12、化简以后，要重视检验工作，确定变量的范围学生练习 1曲线C的方程为f(x,y)=0,点P(x0,y0),则f(x0,y0)=0是点P在曲线C上的( C )A充分条件B必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2曲线C的方程是f(x,y)=0, 点P(x0,y0)不在曲线C上，则方程f(x,y)+f(x0,y0)=0表示的曲线与曲线C的关系是 ( C )A有一个交点 B有无穷多个交点 C无交点 D上述三种情况都有可能3画出方程log(1+y)x+log(1y)x=2 log(1+y)x log(1y)x的曲线解：x0, 1+y0, 1y0, 1+y1, 1y11y0(1)当x=1时，1y0,x
13、1时 logx(1y2)=2x2+y2=1 (x0, x1)结合(1) (2)画出图形点评：要注意对曲线方程中自变量的范围进行讨论,这体现了对曲线方程概念两个方面的理解4AB是圆O的直径，且|AB|=2a, M是圆上一动点，作MNAB,垂足为N，在OM上取点P，使|OP|=|MN|，求点P的轨迹解：以圆心O为原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系则圆O的方程是x2+y2=a2设点P的坐标为(x,y),并设圆与y轴交点为C、D作PQAB于Q，则有, |OP|=|MN|, |OP|2=|OM|PQ|,即x2+y2=a|y|,即 点P的轨迹是分别以OC，OD为直径的两个圆5设点B在以O(0,0),
14、A(1,0)为直径端点的上半圆上，求AOB内切圆圆心的轨迹方程解：设圆心O(x,y), 由内切圆的性质可知：|OB|=x+y, |AB|=y+1x, 又OBA=90, |AB|2+|OB|2=|OA|2,即(x+y)2+(y+1x)2=1,整理得：x2+y2x+y=0, 即 (y0)点评：使用直接法，要注意挖掘图形的几何性质; 注意轨迹和轨迹方程的区别6 已知lg(x2), lg|2y|, lg(16x)成等差数列,则点P(x,y)的轨迹方程为 y2=4x(x2) (x2) 7中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1相交于A、B两点，C是AB的中点，若|AB|=2,O为坐标系的原点，O
15、C的斜率为/2, 求椭圆的方程解：待定系数法 所求椭圆的方程为：=18设曲线C对应的方程为F(x,y)=0,命题甲为：点P的坐标适合方程F(x,y)=0； 命题乙为：点P在曲线C上；命题丙为：点Q的坐标不适合方程F(x,y)=0; 命丁为：点Q不在曲线C上已知甲是乙的必要条件，但非充分条件，那么 （ A ）A丙是丁的充分条件，但非丁的必要条件B丙是丁的必要条件，但非丁的充分条件C丙是丁的充要条件D丙非丁的充分条件，也非丁的必要条件9垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A分的比为1:2，求线段PB中点的轨迹方程解：点参数法 设A(0,t),B(0,3
16、t),则P(t2/2 +1, t),设Q(x,y),则有,消去t得：y2=16(x)点评：本题采用点参数，即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应分析动点运动的原因，找出影响动点的因素，据此恰当地选择参数10 过双曲线C：x2y2/3=1的左焦点F作直线l与双曲线交于点P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求M的轨迹方程解：k参数法 当直线l的斜率k存在时，取k为参数，建立点M轨迹的参数方程设M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ的中点N(x0,y0), l: y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得：(3k2)x24k2x4k23=0,依题意k3, 3k20,x1+x2
17、=4k2/(3k2), x=2x0=x1 +x2=4k2/(3k2), y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3k2), 消去k并整理，得点M的轨迹方程为：当k不存在时，点M(4,0)在上述方程的曲线上，故点M的轨迹方程为：点评：本题用斜率作为参数，即k参数法，k是常用的参数设点P、Q的坐标，但没有求出P、Q的坐标，而是用韦达定理求x1+x2,y1+y2,从整体上去处理，是处理解析几何综合题的常见技巧11以P(2,2)为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A,B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程解：设M(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2), 则x1+x2=2x, y1+y2=2y,由 两式相减得：= = 且, PMAB, = 1,化简得：点M的轨迹方程为：xy+2x4y=0 课前后备注
