1、第八章 第六节 椭圆 (时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1设P是椭圆1上的点若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5C8 D10解析：由题意知a5，|PF1|PF2|2a10.答案：D2(2010广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：由题意有2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)答案：B3“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件 B必要而不充
2、分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成1.若mn0，则0.所以椭圆的焦点在y轴上反之，若椭圆的焦点在y轴上，则0即有mn0.故为充要条件答案：C4(2011长沙模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.y21 D.1解析：由x2y22x150，知r42aa2.又e，c1.答案：A5若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为21，则此椭圆离心率的取值范围是()A， B，C(，1) D，1)解析：设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k2a，又结合椭圆的性质可知椭圆上
3、的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k2c，2a6c，即e.答案：D6过椭圆1内的一点P(2，1)的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是()A5x3y130 B5x3y130C5x3y130 D5x3y130解析：设过点P的弦与椭圆交于A1(x1，y1)，A2(x2，y2)两点，则且x1x24，y1y22，(x1x2)(y1y2)0，kA1A2.弦所在直线方程为y1(x2)，即5x3y130.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析：由题意得2a12，
4、所以a6，c3，b3.故椭圆方程为1.答案：18已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是_解析：由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，方程是1.答案：19(2010湖北高考)已知椭圆C：y21的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0y1，则|PF1|PF2|的取值范围为_，直线y0y1与椭圆C的公共点个数为_解析：依题意得点P位于椭圆C的内部(异于原点O)，因此有|F1F2|PF1|PF2|2a，即2|PF1|PF1|2，2|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|的取值范围是2,2)；依题意，可考虑取特殊点P(1,0)，相应的直线为x
5、2，显然该直线与椭圆没有公共点，即直线y0y1与椭圆的公共点的个数为0.答案：2,2 )0三、解答题(共3小题，满分35分)10已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：yxm，是否存在实数m，使直线l与(1)中的椭圆有两个不同的交点M、N，使|AM|AN|，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由解：(1)依题意，设椭圆的方程为y21，设右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式，得3，c，a2b2c23，所求椭圆的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组得4x26mx3m230，x1x2
6、，x1x2，y1y2.|AM|AN|，(2)，m2，此时判别式0，满足条件的m的值不存在11已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意，得解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1，故4x4.因为(xm，y)，所以|2(xm)2y2(xm)212(1)x22mxm212(x4m)2123m2.因为当|最小时，点P恰好落在椭圆的右
7、顶点，即当x4时，|2取得最小值而x4,4，故有4m4，解得m1.又点M在椭圆的长轴上，所以4m4.故实数m的取值范围是1,412(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解：(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a.l的方程为yxc, 其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|x2x1| .得a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|得kPN1.即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.