1、四川省棠湖中学2020届高三数学下学期第四学月考试试题 文（含解析）一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由得：，则，故选B.2.若，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由题意可知： ，则 .本题选择D选项.3.已知实数、满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，
2、如下图表示：当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.4.“”是“直线的倾斜角大于”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】设直线的倾斜角为，则，由“”，可得，再举特例，可得由“直线的倾斜角大于”不能得到“”，即可得解.【详解】解：设直线的倾斜角为，则，若“”，则，即，即由“”能推出“直线的倾斜角大于”，若“直线的倾斜角大于”，不妨令，则，则不能得到“”，即“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.【
3、点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.5.如图1，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，已知，解得， ，解得.折断后的竹干高为4.55尺故选B6.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”如胡夫金字塔的底部周
4、长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米【答案】C【解析】【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案【详解】胡夫金字塔原高为 ，则 ，即米，则胡夫金字塔现高大约为136.4米故选C【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案属于常规题型7.已知，是两条不重合的
5、直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解：选项A中直线，还可能相交或异面，选项B中，还可能异面，选项C，由条件可得或故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.8.函数（其中，）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式.【详解】解：由图象知，则，图中的点应对应正弦曲线中的点，所
6、以，解得，故函数表达式为故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.9.已知，则()A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正弦公式与两角差的余弦公式化简等式可得，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系可得结果.【详解】由，可得，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些
7、角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角10.已知，若，则的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意，求出，再由向量的几何意义，可得，进而可求出结果.【详解】因为，所以，即，当与同向时，最小；当 与反向时，最大，又，所以，即.故选：D【点睛】本题主要考查求向量模的范围，熟记向量的数量积运算，以及向量的几何意义即可，属于常考题型.11.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D.
8、【答案】D【解析】【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即60，由底面边长为3得，正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，故选：D【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系掌握正棱锥性质是解题关键12.若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意即可得出函数的图象恒在直线的上方，当直线与函数相切时，可设切点为，从而可以得出，联立三式即可得出，根据即可得出，再根据即可得出，从而得出
9、整数的最大值为2【详解】关于的不等式在内恒成立，即关于的不等式在内恒成立，即函数的图象恒在直线的上方当直线与函数相切时，设切点为，则，由得，把代入得，化简得由得，又由得即相切时整数因此函数的图象恒在直线的上方时，整数的最大值为2故选【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值：_【答案】1【解析】【分析】根据对数运算,化简即可得解.【详解】由对数运算,化简可得故答案为:1【点睛】本题考查了对数的基本运算,属于基础题.14.若等比数列的前项和为
10、,且，则_【答案】511【解析】由等比数列的性质可得： ，即： ，解得： .15.函数的图像可由的图像至少向右平移_个单位长度得到.【答案】【解析】【分析】结合辅助角公式对目标函数进行变形得，从而可得到正确答案.【详解】解：，所以的图像至少向右平移个单位长度得到.故答案为: .【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了三角函数图像的平移变换.本题的关键是对目标函数的解析式进行整理变形.16.已知抛物线：的焦点为，且到准线的距离为2，直线：与抛物线交于，两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则_.【答案】【解析】【分析】由到准线的距离为2，可求出，抛物线：，再利用，点的坐标，即可求出直线，联立直
11、线与抛物线则可求出点的坐标，再利用，即可得出答案【详解】因为到准线的距离为2，所以，抛物线：， .设，因为，即所以，代入直线：所以直线为：由 所以 ，所以， ，所以故填：【点睛】本题考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、方程思想，属于中档题三.解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的
12、频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月用水量的中位数.【答案】(1) ； (2)36000；（3）.【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（）问，由高组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（）问，利用高组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率样本容量=频数，计算所求人数；第（）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2x2.5，再估计月均用水量的中位数.【详解】（）
13、由频率分布直方图，可知：月均用水量在0,0.5）的频率为0.080.5=0.04.同理，在0.5,1），1.5,2），2,2.5），3,3.5），3.5,4），4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，解得a=0.30.（）由（）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 0000.12=36000.（）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和
14、为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5所以2x2.5.由0.50（x2）=0.50.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础18.在中，是上的点，平分，.（1）求；（2）若，求的长【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1
15、）在和中运用正弦定理，进行求解即可 （2）由，利用正弦定理可得，利用余弦定理求出，结合，建立方程进行求解即可【详解】解：（1）由正弦定理可得在中，在中，又因为，.（2），由正弦定理得，设，则，则.因为，所以，解得.【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键19.如图，在四棱锥中，平面平面，分别为，的中点（）证明：平面平面；（）若，求三棱锥的体积【答案】（）证明见解析；（）【解析】【分析】第一问先证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明平面平面第二问利用等积法可得，分别求出的面积和BM的长度即可解决问题【详解】（）连接，为正三角形.为的中点，.，平面，
16、.又平面，平面，平面.，分别为，的中点，.又平面，平面，平面.又平面，平面平面.（）在（）中已证.平面平面，平面，平面.又，.在中，.，分别为，的中点，的面积，三棱锥的体积.【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题20.已知，动点在：上运动.线段的中垂线与交于.（1）求点的轨迹的方程；（2）设、三点均在曲线上，且，（为原点），求的范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据中垂线性质得到，判断为椭圆，代入数据得到答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设，联立方程得到，计算得到答案.【详解】（1）点轨迹是以、为焦点椭圆.，.（2）
17、当斜率存在时，设，令两根为，.由.，.代入，即.故.，.当轴时，易求，范围是.【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长范围，其中忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误，意在考查学生的应用能力和计算能力.21.已知函数，（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先求出，再对a分类讨论求出函数的单调性；（2）由题得，再对a分类讨论，根据函数在x=1处取得极大值，求出a的取值范围.【详解】（1），当时，函数在上单调递增；当时，若，则；若，则，函数在上单调递增，在上单调递减综上所述，当时函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在
18、上单调递减（2），由（1）知，当时，在上单调递增，若，则；若，则，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值；不合题意；当时，在上单调递增，在上是单调递减，在上单调递减无极值，不合题意；当时，由（1）知，在上单调递增，若，则；若，则，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，不合题意；当时，由（1）知，在上单调递减，若，则；若，则在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，符合题意综上所述，a的取值范围是【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x正半
19、轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数）将代入消去参数t可得直线l的普通方程利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程（2）将代入得：，利用根与系数的关系及参数的意义可得【详解】（1）直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t可得直线l的普通方程为 由，得，则有，即，则曲线C的直角坐标方程为 （2）将l的参数方程代入，得，设两根为， 则，为M，N对应的参数，且所以，线段MN的中点为Q对应的参数为，所以，【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了直线参数的几何意义的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.已知，；（1）若，求的解集.（2）若最小值为1，求最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将函数化简为分段函数，分别解不等式得到答案.（2）将函数化简为分段函数，根据最小值得到，变形，利用柯西不等式解得答案.【详解】（1），时，解不等式： 解得答案：.（2）当时，.当即时. 最大值为.【点睛】本题考查了绝对值不等式，最大值问题，将绝对值函数化简为分段函数时解题的关键.