1、上海市复旦实验中学2014学年度高三学科测试数学试卷（理科）2014.11一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分，请在相应的空格内填上正确的答案， 每个空格填对得5分，否则一律得0分.1. 已知集合，则 .解析：，.2. 函数的最小正周期为 .解析：，所以最小正周期.3. 已知的展开式中，的系数为，那么实数 .解析：，令.4. 已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 .解析：分类讨论，不要忘了空集的情况：.5. 在中，角所对的边长分别为.若，则最大角为 .解析：由正弦定理可得，有余弦定理即可得最大角的余弦值，即.6. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中
2、8个白球、8个黑球. 现从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 .（结果精确到0.001）解析：7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，若直线的倾斜角为，则的值为 .解析：很明显，所以，即.8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 . 解析：在上单调递增，内函数在上递增且函数值大于0，所以.9. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 .解析：轴截面是边长为，则底面半径，母线，所以侧面积为.10. 已知定义在上的函数与的图像相交与点，过点作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长度为 .解析：,.11. 已知函数满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是 .
3、解析：，所以，即.12. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 .解析：为偶函数，结合图形可知.13. 设函数的定义域为，其中.若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在区间上的最大值与最小值之和为 .解析：令，定义域为，则有在区间上的最大值为5，最小值为2，当为偶函数时，在区间上的最大值为5，最小值为2，此时在区间上的最大值与最小值之和为9；当为偶奇函数时，在区间上的最大值为-2，最小值为-5，此时在区间上的最大值与最小值之和为-5；综上，应填或14.已知命题“，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 .解析：原命题为假命题，即在上有解.显然.当时，结合函数图像可得
4、，无解；当时，结合函数图像可得，所以，.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，请在括号内填上正确的选项，选对得5分，否则一律得0分.15. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A.B. C. D. 解析：有各函数的基本性质即可知符合题意，选择.16.在钝角中，“”是“”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：能得到，反之不一定成立，还可以为.17. 已知函数，其中，则下列判断正确的是（ ）A. 当时，的最小值为B. 当时，的最小值为C. 当时，的最小值为D. 当时，的最小值为解析：，令，结合函数图像，可得
5、到当时，取到最小值，所以选择C.18. 给定方程：，下列命题中：该方程没有小于0的实数解；该方程有无数个实数解；该方程在内有且仅有一个实数解；若是该方程的实数解，则.其中正确的命题个数是（ ）A.1个B.2个 C. 3个D.4个解析： ，的解就等价于函数与的交点个数，作出图像即可判断只有不对；所以选择C. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，直三棱锥中，.求直三棱锥的体积；D若是的中点，求异面直线与所成的角.解析： 且， .D；如图，取中点，连接、，又是的中点，所以，
6、所以即为异面直线与所成的角.计算可得，在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成的角为.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，且的最大值为1.求的值，并求的单调递增区间；在中，角的对边为，若，且.试判断的形状.解析： 即；令，得的单调递增区间为；， ，又， ，即，故，所以为钝角三角形.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨
7、二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？解析：每吨的平均处理成本为当且仅当即每月处理量为吨时每吨的平均处理成本最低，最低为200元；设该单位每月获利为（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本解之得：由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数，其中常数.时，求的最小值.讨论函数的奇偶性.若恒成立，求实数的取值范围.解析：时，当且仅当即时取最小值2.
8、，所以当时为偶函数，因为此时有恒成立；当时为奇函数，因为此时有恒成立.当时为非奇非偶函数.由得；，令，有，即，所以.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设函数为定义在上的奇函数，. 当时，. 当时，求的解析式；记，为，求及其反函数的解析式；定义其中，探究方程在区间上的解的个数.解析：当时，即；当时，有.，则的周期为；当时， ，即.由可得的对称轴为，所以的图像如下：接下来求解在上的解析式：当为偶数时，为其周期，.所以；当为奇数时，为其周期，.所以综上，所以将向右移动个单位，再向上移动个单位即可得到的图像：显然，是连续的递增函数， 当时，方程在区间上有一解， 当时，方程在区间上无解.
