1、32直线的方程32.1直线的点斜式方程目标 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件；2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系；3.会求直线的点斜式方程与斜截式方程重点 直线方程的两种形式及应用难点 直线方程的推导及应用知识点一 直线的点斜式方程填一填1已知直线(斜率存在)过两点P(x，y)，P0(x0，y0)，则直线的斜率k.2已知直线过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线方程是yy0k(xx0)3过定点P(x0，y0)，与x轴平行的直线的方程为yy0；与y轴平行的直线的方程为xx0.答一答1方程yy0k(xx0)与方程k等价吗？提示：两个方程不等价，前者是整条直线，后者表示去掉点P
2、(x0，y0)的一条直线2直线l的点斜式方程是y23(x1)，则直线l的斜率是(C)A.2B.1C.3D.3知识点二 直线的斜截式方程填一填1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则该直线的斜截式方程为ykxb.2b是直线l在y轴上的截距答一答3“截距”与“距离”是否是一回事？提示：不是一回事，如：直线在y轴上的截距并不是距离，而是直线与y轴交点的纵坐标，它是一个数值，可正可负，可为零当截距为非负数时，它等于交点到坐标原点的距离，当截距为负数时，它等于交点到坐标原点距离的相反数4直线的斜截式方程能表示所有直线吗？提示：不能，当直线的斜率不存在时，则不能用斜截式方程表示5直线2x3y
3、10的斜率是，在y轴上的截距是，在x轴上的截距是.解析：将直线方程化为yx得直线的斜率是，在y轴上的截距是，令y0得x，知直线在x轴上的截距是.类型一 直线的点斜式方程 例1(1)已知直线方程y3(x4)，则这条直线经过的已知点、倾斜角分别为()A.(4,3)，60 B.(3，4)，30C.(4,3)，30 D.(4，3)，60(2)经过点(5,2)且平行于y轴的直线方程为_.(3)直线yx1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90后得直线l，则直线l的点斜式方程为_解析(1)由直线的点斜式方程易知直线过点(4,3)，且斜率为，所以倾斜角为60.(2)直线平行于y轴，直线不存在斜率，方程为x5.
4、(3)直线yx1的斜率k1，所以倾斜角为45.由题意知，直线l的倾斜角为135，所以直线l的斜率ktan1351，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y4(x3)答案(1)A(2)x5(3)y4(x3)已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时，直线方程为xx0.变式训练1求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，3)，倾斜角是直线yx倾斜角的2倍；(2)经过点P(5，2)与y轴平行；(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点解：(1)直线yx的斜率为，倾斜角为30
5、.所求直线的倾斜角为60，其斜率为.所求直线方程为y3(x2)，即xy230.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x5.(3)过点P(2,3)，Q(5，4)两点的直线斜率kPQ1.又直线过点P(2,3)，由直线方程的点斜式可得直线方程为y3(x2)，即xy10.类型二 直线的斜截式方程 例2根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为30，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.(2)因为倾斜角30，
6、所以斜率ktan30，由斜截式可得方程为yx2.(3)因为直线的倾斜角为60，所以斜率ktan60.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b3或b3，故所求直线的方程为yx3或yx3.直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.变式训练2(1)已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的截距为2，则直线l的斜截式方程为yx2.解析：由题意知直线l的斜率k，故由直线方程的斜截式可得所求直线方程为yx2.故填yx2.(2)写出斜率为2，
7、在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点(1,1)?解：由直线方程的斜截式，得直线方程为y2xm.直线过点(1,1)，将x1，y1代入方程y2xm得121m，m1即为所求类型三 直线方程的应用 命题视角1：直线方程与平行、垂直例3当a为何值时，(1)两直线yax2与y(a2)x1互相垂直？(2)两直线yx4a与y(a22)x4互相平行？解(1)设两直线的斜率分别为k1、k2，则k1a，k2a2.因为两直线互相垂直，所以k1k2a(a2)1.解得a1.所以当a1时，两条直线互相垂直(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k31，k4a22.因为两条直线互相平行，所以解得a1.所以当a1
8、时，两直线互相平行(1)若l1l2(斜率存在)，则k1k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1b2；反之当k1k2且b1b2时，l1l2，所以有l1l2k1k2且b1b2.(2)若l1l2(斜率存在)，则k1k21；反之当k1k21时，l1l2.所以有l1l2k1k21.变式训练3已知直线l过点A(2，3)(1)若l与直线y2x5平行，求其方程；(2)若l与直线y2x5垂直，求其方程解：(1)法1：因为l与y2x5平行，所以kl2，由直线的点斜式方程，知y32(x2)法2：已知直线方程为y2x5，而l与其平行，所以y2xb，又过点(2，3)，所以b1，所以l的方程为y2x1.(2)法1：因为l
9、与y2x5垂直，所以kl，由直线的点斜式方程知y(3)(x2)法2：因为直线y2x5的斜率为2，l与其垂直，所以可设l的方程为yxc，又因为过点(2，3)，所以c4，所以l的方程为yx4.命题视角2：“截距”的应用例4已知直线l与直线yx垂直，并且l与两坐标轴围成三角形的面积为24，求直线l的方程分析由题意可求出直线l的斜率，设出直线的斜截式方程，求出直线l在y轴上的截距即可解因为直线l与直线yx垂直，所以设直线l的方程为yxb.令y0，得xb，即直线l在x轴上的截距为b.由题意，得|b|24，所以b236，所以b6，故所求直线l的方程为yx6或yx6.已知直线的斜率常用斜截式，再由其他条件确
10、定在y轴上的截距，同时注意截距与距离的区别.变式训练4求斜率为且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程解：设直线方程为yxb.令x0，得yb.令y0，得xb.所以|b|12，|b|b|b|12，b3.故所求直线的方程为yx3或yx3.1已知直线的方程是y2x1，则(C)A.直线经过点(1,2)，斜率为1B.直线经过点(2，1)，斜率为1C.直线经过点(1，2)，斜率为1D.直线经过点(2，1)，斜率为1解析：方程可变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.2直线y2(x1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(B)A.60，2 B.120，2C.60，2 D.120，2解析：该直线的斜率
11、为，当x0时，y2，其倾斜角为120，在y轴上的截距为2.3直线ykxb通过第一、三、四象限，则有(B)A.k0，b0 B.k0，b0C.k0 D.k0，b0，b0.4若直线l1：yx与直线l2：y3x1互相平行，则a.解析：由l1l2，3，a.5已知在第一象限的ABC中，A(1,1)，B(5,1)，且CAB60，CBA45，求边AB，AC和BC所在直线的点斜式方程解：由A(1,1)，B(5,1)可知边AB所在直线的斜率为0，故边AB所在直线的方程为y10.由ABx轴，且ABC在第一象限知边AC所在直线的斜率kACtan60，边BC所在直线的斜率kBCtan(18045)1，所以，边AC所在直线的方程为y1(x1)，边BC所在直线的方程为y1(x5)本课须掌握的两大问题1求直线的点斜式方程的方法步骤2直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别(2)直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断