1、23.3直线与平面垂直的性质23.4平面与平面垂直的性质目标 1.记住直线与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题；2.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题；3.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题重点 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质及应用难点 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理的理解，直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质的综合应用知识点一直线与平面垂直的性质填一填1文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行简记为：若线面垂直则线线平行2符号语言：ba.3图形语言：答一答1两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平
2、面吗？提示：垂直因为两条平行线中的一条垂直于这个平面，所以这条直线垂直于平面内的两条相交直线，所以另一条直线也垂直于这两条相交直线，故另一条也垂直于这个平面2分别垂直于两个平行平面的两条直线是否平行？提示：平行因为一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面的平行平面，所以这两条直线垂直于同一个平面，所以这两条直线平行3垂直于同一条直线的两平面平行吗？提示：平行如图，过直线l作两个平面，分别与两个平面，相交于a，a，b，b，l，la，lb.l，la，lb.aa，bb.又a与b相交，a与b相交，.垂直于同一条直线的两个平面平行知识点二平面与平面垂直的性质填一填1文字语言：两个平面垂直，则一
3、个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直2符号语言：a.3图形语言：答一答4应用定理若分别去掉以下两个条件，探究定理是否成立(1)将条件a去掉，结论是否成立？(2)将条件al去掉，结论是否成立？提示：(1)不一定成立，如下图让a，这时也有al，但a与不垂直(2)不成立，如下图直线a，但a与直线l不垂直，显然a与不垂直5若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？提示：若，l，在内作a与，的交线垂直，则a，al.l或l，即直线l与平面平行或在平面内类型一线面垂直性质定理的应用 例1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，
4、F为CD的中点求证：平面BCE平面CDE.证明如图，取CE的中点G，连接FG，BG，AF.F为CD的中点，GFDE，且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE.则GFAB.又ABDE，GFAB.则四边形GFAB为平行四边形于是AFBG.ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，CD，DE平面CDE，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边
5、形及三角形中位线的有关性质.变式训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点证明：(1)四边形ADD1A1为正方形，AD1A1D.又CD平面ADD1A1，CDAD1.A1DCDD，AD1平面A1DC.又MN平面A1DC，MNAD1.(2)如图，连接ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC，ON綊CD綊AB，ONAM，又MNOA，四边形AMNO为平行四边形，ONAM.ONAB，AMAB，M是AB的中点类型二面面垂直性质定理的应用 例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABC
6、D是DAB60，且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.证明(1)如图，连接PG，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，则PGAD.又平面PAD平面ABCD，PG平面PAD，PG平面ABCD.BG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形，且DAB60，ABD是正三角形则BGAD.又ADPGG，且AD，PG平面PAD.BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.又BG，PG为平面PBG内两条相交直线，AD平面PBG.PB平面PBG，ADPB.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判
7、定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.变式训练2如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，BC平面PAD，PBC90，PBA90.求证：(1)AD平面PBC；(2)平面PBC平面PAB.证明：(1)因为BC平面PAD，而BC平面ABCD，平面ABCD平面PADAD，所以BCAD.因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.(2)如图，自P点作PHAB于H，因为平面PAB平面AB
8、CD，且平面PAB平面ABCDAB，所以PH平面ABCD.因为BC平面ABCD，所以BCPH.因为PBC90，所以BCPB，而PBA90，于是点H与B不重合，即PBPHP.因为PB，PH平面PAB，所以BC平面PAB.因为BC平面PBC，故平面PBC平面PAB.类型三垂直关系的综合应用 例3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为
9、ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形所以BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.又ADPAA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.掌握线线、线面、面面垂直的性质和判定是三种垂直相互转化的关键.由线面垂直可知线与面内任何一条直线都垂直；由线面垂直亦可得到面面垂直
10、(面面垂直的判定).因此说线面垂直是线线垂直和面面垂直的枢纽.变式训练3如图所示，A，B，C，D为空间四点，在ABC中，AB2，ACBC，等边三角形ADB以AB为轴转动(1)当平面ADB平面ABC时，求CD的长；(2)当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论解：(1)如图，取AB的中点E.连接DE，CE.因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC，故DECE.由已知可得，DE，EC1，在RtDEC中，CD2.(2)当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.证明如下：当D在平面ABC内时，因为ACBC，ADBD，所以C，D
11、都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.当D不在平面ABC内时，由(1)，知ABDE.因为ACBC，所以ABCE.又因为DECEE，所以AB平面CDE.由CD平面CDE，得ABCD.综上所述，总有ABCD.1已知直线a，b，平面，且a，下列条件中，能推出ab的是(C)Ab BbCb DbA2ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是(C)A相交B异面 C平行D不确定解析：因为lAB，lAC，AB，AC且ABACA，所以l，同理可证m，所以lm.3设l是直二面角，直线a，直线b，a，b与l都不垂直，那么(C)Aa与b可能垂直，但不可能平行Ba与b可能垂直
12、，也可能平行Ca与b不可能垂直，但可能平行Da与b不可能垂直，也不可能平行解析：当a，b都与l平行时，则ab，所以A、D错，如图，若ab，过a上一点P在内作al，因为，所以a，又b，ab，b，而l，bl，与b和l不垂直矛盾，所以B错4如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB.解析：侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，PB.5已知，l.求证：l.证明：方法1：如图1，在内取一点P，作PA垂直与的交线于A，PB垂直与的交线于B，则PA，PB.l，lPA，lPB.又PAPBP，且PA，PB，l.方法2：如图2，在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，m，n.mn.又n，m.又m，l，ml.l.本课须掌握的两大问题1垂直关系之间的相互转化2平行关系与垂直关系之间的相互转化