1、21.2 空间中直线与直线之间的位置关系目标 1.会判断空间两直线的位置关系；2.理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角；3.能用公理 4 解决一些简单的相关问题重点 两直线位置关系的判断；公理 4 的应用；异面直线的定义及两异面直线所成的角难点 异面直线定义的理解；求两异面直线所成的角知识点一 空间直线的位置关系填一填1异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线2空间直线的三种位置关系：答一答1若直线 a平面，直线 b平面，a，b 是否为异面直线？为什么？提示：a，b 不一定是异面直线，因为 a，b 也有可能平行或相交根据异面直线的定义，若 a，b 是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线
2、 a，b 都在这个平面内2若两条直线没有公共点，那么这两条直线的关系是怎样的？提示：这两条直线平行或异面知识点二 公理 4 和等角定理填一填1公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示：ab，bcac.2定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补答一答3已知BAC30，ABAB，ACAC，则BAC(C)A30 B150C30或 150 D大小无法确定解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以BAC30或 150.4若两个角的两边分别对应平行，且两个角的开口方向相同，那么这两个角的关系是什么？提示：相等知识点三 异面直线所成的角填一填答一答
3、5在异面直线所成角的定义中，角的大小与点 O 的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知，a与 b所成角的大小与点 O 的位置无关但是为了简便，点 O 常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)6如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BAE25，则异面直线 AE 与 B1C1 所成的角的大小为 65.解析：B1C1BC，异面直线 AE 与 B1C1 所成的角是AEB902565.类型一 空间两条直线的位置关系例 1 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，CC1 的中点，以下四个结论：直线 DM 与 CC1 是相
4、交直线；直线 AM 与 NB 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线其中正确的为_(把你认为正确的结论的序号都填上)分析 利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断解析 中直线 DM 与直线 CC1 在同一平面内，它们不平行，必相交故结论正确中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确中 AM 与 BN 是异面直线，故不正确故填.答案 判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为 A，B，l，BlAB
5、与 l 是异面直线(如图)变式训练 1(1)如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1 异面的棱的条数是(B)A6 B4 C5 D8解析：与 AA1 异面的棱有 CD、C1D1、BC、B1C1 共 4 条(2)若 a，b，c 是空间三条直线，ab，a 与 c 相交，则 b 与 c 的位置关系是相交或异面解析：b 与 c 不可能平行，相交、异面都可能类型二 公理 4 与等角定理的应用例 2 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，M1 分别是棱 AD 和 A1D1 的中点(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.分析(1)欲证四边形 B
6、B1M1M 是平行四边形，可证 BB1 与 MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明证明(1)在正方形 ADD1A1 中，M，M1 分别为 AD，A1D1 的中点，MM1 綊 AA1.又AA1 綊 BB1，MM1BB1，且 MM1BB1，四边形 BB1M1M 为平行四边形(2)由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形，C1M1CM，由平面几何知识可知，BMC 和B1M1C1 都是锐角BMCB1M1C1.1公理 4 表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明
7、方法.,2如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.变式训练 2 如右图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G分别是 AB，BB1，BC 的中点求证：EFGC1DA1.证明：连接 B1C.因为 G，F 分别为 BC，BB1 的中点，所以 GF 綊12B1C.又 ABCD-A1B1C1D1 为正方体，所以 CD 綊 AB，A1B1 綊 AB，由公理 4 知 CD綊 A1B1，所以四边形 A1B1CD 为平行四边形，所以 A1D 綊 B1C.又 B1CFG，由公理 4 知 A1DFG.同理可证：A1C1EG，DC1EF.又DA1C1 与EGF，A1D
8、C1 与EFG，DC1A1 与GEF 的两边分别对应平行且均为锐角，所以DA1C1EGF，A1DC1EFG，DC1A1GEF.所以EFGC1DA1.类型三 异面直线所成的角例 3 如图，在正方体 ABCD-EFGH 中，O 为侧面 ADHE 的中心，求：(1)BE 与 CG 所成的角(2)FO 与 BD 所成的角解(1)如图，因为 CGBF，所以EBF(或其补角)为异面直线BE 与 CG 所成的角，又在BEF 中，EBF45，所以 BE 与 CG 所成的角为 45.(2)如图，连接 FH，因为 HDEA，EAFB，所以 HDFB，又HDFB，所以四边形 HFBD 为平行四边形，所以 HFBD，
9、所以HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角连接 HA，AF，易得 FHHAAF，所以AFH 为等边三角形，又知 O 为 AH 的中点，所以HFO30，即 FO 与 BD 所成的角为 30.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可作“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角 的取值范围为 090.变式训练 3 四面体 A-BCD 中，ABCD，AB 与 CD 成 30角，E，F 分别是 BC，AD 的中点，求 EF 和 AB 所成的角解：如图，取 BD
10、 的中点 G，连接 EG，FG.E，F，G 分别是 BC，AD，BD 的中点，EG 綊12CD，GF 綊12AB.EGF(或EGF 的补角)为 AB 与 CD 所成的角，即EGF30或 150.ABCD，EGGF，故由等腰EGF，知GFE75或 15.而由 FGAB，知GFE 就是 EF 和 AB 所成的角从而 EF 和 AB所成的角为 75或 15.1若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的位置关系是(D)A异面或平行B异面或相交C异面D相交、平行或异面2若 a，b 是异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系是(D)A相交B异面C平行D异面或相交3已知棱
11、长为 a 的正方体 ABCD-ABCD中，M，N 分别为 CD，AD 的中点，则 MN 与 AC的位置关系是平行解析：如图所示，MNAC 且 MN12AC，又因为 ACAC，所以 MNAC.4如图，在三棱锥 A-BCD 中，E，F，G 分别是 AB，BC，AD 的中点，GEF120，则 BD 和 AC 所成角的度数为 60.解析：依题意知，EGBD，EFAC，所以GEF 或其补角即为异面直线 AC 与 BD 所成的角，又GEF120，所以异面直线 BD 与AC 所成的角为 60.5如图所示，在空间四边形 ABCD 中，ADBC2，E，F 分别是 AB，CD 的中点若 EF 2，求 AD，BC
12、所成的角解：如图，取 BD 的中点 H，连接 EH，FH，因为 E 是 AB 的中点，且 AD2，所以 EHAD，EH1.同理 FHBC，FH1，所以EHF(或其补角)是异面直线 AD，BC 所成的角，又因为 EF 2，所以 EH2FH2EF2，所以EFH 是等腰直角三角形，EF 是斜边，所以EHF90，即 AD，BC 所成的角是 90.本课须掌握的两大问题1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角为，且 090，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小