1、()理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式点斜式、两点式及一般式，了解斜截式与一次函数的关系 1_0.2_1_.xxx倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，把 轴绕着交点按旋转到和直线重合时所转过的叫直线的倾斜角当直线与 轴平行或重合时规定倾斜角为倾斜角直线的倾斜角范围：11221212190_90_2()()()tan_.2ABA xyB xyxxABkxxABx定义：倾斜角不等于的直线，它的倾斜角的叫做这条直线的斜率，倾斜角等于的直线斜率 公式：过两点，其中的直线的斜率为，当时，斜率不存在，直线与 轴垂直，方程为直线的
2、斜率 0000,0(0)_.1()_.(0.34)lxyA aBbablxyyyk xxkxykbykxb直线 与 轴、轴分别交于点和，则、分别叫直线 在 轴和 轴上的截距截距，也可能等于直线方程的三种形式及适用范围点斜式：已知条件：斜率和一点，适用范围：特别地，已知条件：斜率 和一点，时，直线直线的截距直线方程方程就为：适用范x围：直线不与 轴垂直 11121221212()_,0(0)(00)1._30()yyxxxxyyyyxxxyab abxyabxyAxByCAB两点式：，适用范围：表示不与 轴、轴的直线特别地，当直线过两点，两点式方程就为适用范围：或不与 轴和 轴垂直的直线一般式：
3、，不同时为零 适用范围：能表示平面上所有直线，但一般不用此式求直线方程，一般在证明题时用此方程 1210 _ _5_.AxByCaykxba直线的方向向量：直线的一个方向向量为，直线的一个方直线与向为量向向量 2/.,lAvPlAP vtAPtvOOPOAtv tR直线的向量方程：如图，设直线 经过定点 并且与向量 平行，为 上任意一点，则根据向量共线的充要条件，有唯一实数，使得设为平面上一定点，211210,180)()(1)yyxxxxxBAk逆时针方向；最小正角；正切值；没有；可正可负；零；直线不与 轴垂直；垂直；不过原点；，；【】指南，要点1.直线 x 3y10 的倾斜角是()A.6B
4、.4C.56D.23【解析】由已知，tan 33 0，又 0，)，则 56，故选 C.2.下列命题中的真命题是()A经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示B经过任意两个不同点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示C不经过原点的直线都可以用方程xayb1 表示D经过点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb表示【解析】A、D 均不包括斜率不存在的情况，而C 不能表示平行于坐标轴的直线 3.在同一坐标系中表示直线 yax 与 yxa，正确的是()【解析】应用淘汰法验证可知应选 C.思考时应注意到
5、a 对于直线 yax 为其斜率，而对于 yxa 为其纵截距 4.将直线 y3x 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移1 个单位长度，得到的直线方程为 y13x13.【解析】将直线 y3x 绕原点逆时针旋转90得到的直线方程为 y13x，再将其向右平移一个单位长度得到的直线方程为 y13(x1)，即 y13x13.5.(2011上海文改编)若直线 l 过点(3,4)，且(2,1)是它的一个方向向量，则直线 l 的方程为 x2y110.一 直线的倾斜角与斜率【例 1】(1)已知 P(3，1)，M(6,2)，N(3，3)，直线 l 过 P 点，且与线段 MN 相交，求直线 l 的倾斜角和斜率的取值范围
6、；(2)已知 M(1，5)，N(3，2)，若直线 l 的倾斜角是直线 MN 的倾斜角的一半，求直线 l 的斜率【解析】(1)因为 kPM21631，所以直线 PM 的倾斜角为4.又 kPN31 33 33，所以直线 PN 的倾斜角为56.又倾斜角 0，)所以直线 l 的倾斜角的范围是4，56；直线 l 的斜率的取值范围是(，33 1，)(2)设l的倾斜角为，则直线MN的倾斜角为2.因为 20，)，所以 0，2)由已知有 tan2kMN2531 34.所以 2tan1tan234，即 3tan28tan30，解得 tan3 或 tan13，因为 0，2)，所以 tan0，所以 tan13.从而直
7、线 l 的斜率为13.【点评】这里的几个小题从不同角度反映了斜率知识的应用，要注意体会应用的角度和处理的方法，达到灵活变通 直线 2xcosy30(6，3)的倾斜角的取值范围是()A6，3 B4，3C4，2 D4，23 素材1【解析】直线 2xcosy30 的斜率 k2cos，由 6，3，所以12cos 32，因此 k2cos1，3 设直线的倾斜角为，则有 tan1，3由于 0，)，所以 4，3，即倾斜角的取值范围是4，3二 直线方程的求法【例 2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 1010；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)
8、直线过点(5,10)，且原点到直线的距离为 5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则 sin 1010(0)，从而 cos3 1010，则 ktan13.故所求直线的方程为 y13(x4)即 x3y40 或 x3y40.(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为：xay12a1，从而3a 412a1，解得 a4 或 9.故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90.(3)依题设知此直线的斜率可能不存在当斜率不存在时，所求直线方程为 x50；当斜率存在时，设其斜率为 k，则 y10k(x5)，即 kxy(105k)0.由点到直线的距离公式得：|105k|k21
9、5，解得 k34.故所求直线的方程为 3x4y250.综上知，所求直线的方程为 x50 或 3x4y250.【点评】求直线方程一般有以下两种方法：(1)直接法：直接依题设确定出形式适当的直线方程，然后写出其方程(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程概括起来三句话：设方程，求系数，代入得方程 设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6.根据下列条件分别确定实数 m 的值(1)l 在 x 轴上的截距是3；(2)斜率为1.素材2【解析】(1)令 y0，得 x2m6m22m32m3
10、m3m12m13，得 m53.同时，当 m53时，m22m3 与 2m2m1均不为零，故 m53为所求(2)由已知，m22m32m2m11，即 m23m20，解得 m1 或 m2，而 m1 时，m22m30，且 2m2m10，故 m1 应舍去，所以 m2 为所求三直线方程的综合应用【例 3】已知直线 l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴的负半轴于 A，交 y 轴的正半轴于B，设AOB 的面积为 S，求 S 的最小值，并求此时直线l 的方程【解析】(1)证法 1：将直线的一般式 kxy12k0(kR)
11、化为点斜式 y1k(x2)，所以无论 k 取何值，直线总经过点(2,1)证法 2：直线方程化为(x2)k(1y)0，因为对任意 k 都成立，所以x201y0，即x2y1，所以直线过定点(2,1)(2)将直线的一般式 kxy12k0(kR)化为斜截式 ykx2k1，要使直线不经过第四象限，结合图象知，必须有k012k0，解之得 k0.(3)由方程知，直线在 x 轴上的截距为12kk，在y 轴上的截距为 12k，得 A(12kk，0)，B(0,12k)依题意得12kk012k0，解得 k0.因为 S12|OA|OB|12|12kk|12k|1212k2k12(4k1k4)12(224)4，等号成立
12、的条件是 4k1k且 k0，即 k12，所以 Smin4，此时 l：x2y40.【点评】直线方程有五种形式，各赋有不同的几何意义，掌握它们之间的转化，从而便能找到适合题设的最佳解法 直线 l 经过点 P(3,2)且与 x，y 轴的正半轴分别交于A、B，OAB 的面积为 12，求直线 l 的方程素材3【分析】注意到题目中OAB 的面积与截距有关，可联想到直线方程的截距式若从直线 l 过定点 P(3,2)考虑还可运用直线方程的点斜率式，所以有两种解法【解析】方法 1：设直线 l 的方程为xayb1(a0，b0)，所以 A(a,0)，B(0，b)，所以ab243a2b1，解得a6b4.所以所求直线
13、l 的方程为x6y41，即 2x3y120.方法 2：设直线 l 的方程为 y2k(x3)令 y0，得直线 l 在 x 轴的正半轴上的截距 a32k；令 x0，得直线 l 在 y 轴的正半轴上的截距 b23k，所以(32k)(23k)24，解得 k23.所以所求直线 l 的方程为 y223(x3)，即 2x3y120.备选例题在路边安装路灯，路宽 23 m，当灯柱高为 15 m，灯杆 BA 与灯柱成 120角，路灯成锥形灯罩，灯罩轴线 AC与 AB 灯杆垂直，灯杆 BA 长多少时灯罩轴线 AC 正好通过道路的中轴线？【分析】利用坐标法，适当的建立直角坐标系，把实际问题化为求直线上的点的坐标和或
14、线段长【解析】如右图所示，记灯柱顶端为 B，灯罩顶端为 A，灯杆为 AB，灯罩轴线与道路中线交于 C，以灯柱端点 O 为原点，灯柱 OB 为 y 轴建立直角坐标系设|BA|x0，点 B 的坐标为(0,15)，点 C 的坐标为(11.5,0)因为OBA120，所以直线 BA 的倾斜角为 30，则点 A 的坐标为(32 x0,15x02)因为 CABA，所以 kCA 1kBA1tan30 3.由直线的点斜式方程得 CA 的直线方程为y(15x02)3(x 32 x0)因为点 C(11.5,0)在直线 CA 上，故(15x02)3(11.5 32 x0)，解得 x011.5 31522.46(m)故
15、灯杆 BA 长约为 2.46m.【点评】(1)坐标法是解析几何重要的解题方法，它要求在建立直角坐标系的基础上计算曲线的特征值(2)曲线方程中的特征值有角度(斜率)、线段长度、截距，把实际问题转化为这些特征值，是数学建模中关键的一步1tan0)()2222()3kyxxxxy有关倾斜角 与斜率 的问题探究，应注意应用正切函数，的图象及其单调性分析求解，当时，应单独考虑直线方程设定或求解时，关键是根据题设情境恰当地选择方程形式，同时注意对特殊位置 平行于 轴、轴、过原点 的情形进行分析讨论在平面直角坐标系中，直线与一元一次方程一一对应，确定一条直线需两个独立的条件，其中必不可少的是过一定点，另一条件是直()线的方向或倾斜角、或斜率、或方向向量、或另一定点