1、20152016学年度第一学期学期学情检测 高三（理）数学试题二语 2015.12本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上3第卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸
2、、修正带不按以上要求作答的答案无效第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，集合，则（ ）AB C D2已知命题、，则“为真”是“为真”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 3向量，且，则（ ）A B C D 4设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ）A若,则 B若,则C若, 则 D若,则5不等式组所围成的封闭图形的面积为（ ）A BCD6设实数数列分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是ABCD7若正实数，满足，则（ ）A有最大值 B
3、有最小值C有最大值D有最小值 8已知函数，若命题“”为真，则实数的范围是（ ）A B C D9设定义在上的奇函数，满足对任意都有，且时，则的值等于（ ）A B C D10设，在中，正数的个数是（ ） A B C D第卷（非选择题 共100分）二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知函数,则 ；12在中，若，则的值为 ；13观察下列等式照此规律，第个等式可为 ；14一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ；15若函数满足：存在非零常数，使，则称为“准奇函数”，给出下列函数：；. 则以上函数中是“准奇函数”的序号是 三、解答题：本大题共6小题
4、，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分12分）已知函数（）的最小正周期为（）求函数的单调增区间；（）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象若在上至少含有个零点，求的最小值17（本题满分12分）把边长为的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为，容积为.（）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；（）求当为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.18（本题满分12分）第18题图在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，和平面所成的角为，且点在平面上
5、的射影落在的平分线上（）求证：平面；（）求二面角的余弦值19（本题满分12分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立.（）求函数的表达式；（）求证：.20（本题满分13分）设等差数列的前项和为，且（是常数，），（）求的值及数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，若对恒成立，求最大正整数的值.21（本题满分14分）已知函数，令（）当时，求函数的单调递增区间；（）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（）若，正实数，满足，证明：20152016学年度第一学期学期检测高三（理）数学二语答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共5
6、0分。D A D D A A C B C D 二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11； 12； 学科网 13； 14； 15.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）解：（）由题意得 2分由周期为，得. 得 4分由正弦函数的单调增区间得，得所以函数的单调增区间是 6分（）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，所以8分令，得：或10分所以在每个周期上恰好有两个零点，若在上有10个零点，则不小于第10个零点的横坐标即可，即的最小值为 12分17. （本小题满分12分）解：（）因为容器的高为，则
7、做成的正三棱柱形容器的底边长为-2分.则 . 4分函数的定义域为. 5分（）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点.先求的极值点. 在开区间内，7分令，即令，解得.因为在区间内，可能是极值点. 当时，；当时，. 10分因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，所以是的最大值点，并且最大值 即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为.12分18（本小题满分12分）解：（）由题意知，与是边长为的等边三角形，取中点，连接，则，2分又因为平面平面，所以平面，作平面，那么，所以点落在上，所以，所以，是边长为的等边三角形所以4分所以四边形是平行四边形，所以，面，面所以平面 6分（）解法一：作，垂足为，连
8、接，因为平面，所以，又，所以平面，所以所以就是二面角的平面角9分中，所以所以二面角的余弦值为.12分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，7分可知平面的一个法向量为8分设平面的一个法向量为则即：可求得10分所以所以二面角的余弦值为12分19（本小题满分12分）解：（）由已知得：. 1分由为偶函数，得为偶函数， 显然有. 2分 又，所以，即. 3分 又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立. 显然，当时，不符合题意. 4分 当时，应满足 注意到 ，解得. 所以. 7分（）证明：因为，所以. 要证不等式成立,即证. 8分 因为, 10分 所以 .所以成立. 12分20（本小题满
9、分13分）解：（）解:因为所以当时，解得1分当时，即解得，所以解得 4分则，数列的公差5分所以6分（）因为7分所以 得，所以9分因为所以数列单调递增，最小，最小值为11分所以所以12分故正整数的最大值为13分21. （本小题满分14分）解：（），2分由，得，又，所以所以的单增区间为 4分（）方法一：令所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为所以关于的不等式不能恒成立 6分当时，令，得，所以当时，当时，因此函数在上是增函数，在是减函数所以8分令，因为，又因为在上是减函数，所以当时，所以整数的最小值为 10分方法二：由恒成立，得在上恒成立问题等价于在上恒成立令，只要 6分因为，令，得设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为当时，；当时，所以在上是增函数；在上是减函数所以 8分因为，所以，此时，所以，即整数的最小值为 10分（）当时，由，即从而 13分令，则由得，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增所以 所以，即成立14分
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