1、专题提能三 数列的创新考法与学科素养一、选择题1在数列an中，nN*，若k(k为常数)，则称an为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是()ABCD解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当an是等比数列，且公比q1时，an不是等差比数列，所以错误；数列0,1,0,1，是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以正确答案：C2九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“
2、今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，依题意有解得故选D.答案：D3宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令落一形(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束)成三角锥的堆垛，故也称
3、三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为()A91B105C120D210解析：由题意得，从上往下第n层茭草束数为123n.136680，即n(n1) (n2)680，n(n1)(n2)151617，n15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为105.答案：B4(2018成都联考)等差数列an中的a3，a2 017是函数f(x)x36x24x1的两个不同的极值点，则a1 010的值为()A2BC2D解析：由题易得f(x)3x212x4，因为a3，a2 017是函数f(x)x36x24x1的两个不同的极值点，所以a3，a2 017是方程3x2
4、12x40的两个不等实数根，所以a3a2 0174.又数列an为等差数列，所以a3a2 0172a1 010，即a1 0102，从而a1 0102，故选B.答案：B5已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn3)(nN*)在函数y32x的图象上，等比数列bn满足bnbn1an(nN*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是()ASn2TnBTn2bn1CTnanDTnbn1答案：D6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程
5、为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则第二天走了()A192里B96里C48里D24里解析：设等比数列an的首项为a1，公比q，依题意有378，解得a1192，则a219296，即第二天走了96里，故选B.答案：B7我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，.第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，an.则a1a2a2a3an1an等于()An2B(n1)2Cn(n1)Dn(n1)解析：a1a2a2a3an1ann2n2n2n(n1)答案：C8(2018衡水中学期末改编)已知函数f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线
6、，当x0时，f(x)2，对任意的x，yR，f(x)f(y)f(xy)2成立，若数列an满足a1f(0)，且f(an1)f()，nN*，则a2 018的值为()A2BCD解析：令xy0得f(0)2，所以a12.设x1，x2是R上的任意两个数，且x1x2，则x2x10，因为当x0时，f(x)2，所以f(x2x1)2，即f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)22f(x1)2f(x1)，所以f(x)在R上是减函数因为f(an1)f()，所以an1，即1，所以3()，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，所以3n1，即an.所以a2 018.故选C.答案：C二、填空题9意大利著名数学家斐波
7、那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，则iai2的值为_解析：由题意，得a1a3a1211，a2a4a1341，a3a5a2591，a4a6a38251，a8a10a21553421，a9a11a34895521，所以iai2(aiai2a)1.答案：110“中国剩余定理”又称“孙子定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一
8、列，构成数列an，则此数列的项数为_解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故an15n14.由an15n142 016，解得n，又nN*，故此数列的项数为135.答案：13511已知幂函数f(x)x的图象过点(9,3)，令an(nN*)，记数列an的前n项和为Sn，则S2 018_.解析：由幂函数f(x)x的图象过点(9,3)，可得93，解得，所以f(x)x，则an.所以S2 018a1a2a2 01811.答案：112定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个列叫作等差列，这个常数叫作等差列的公差已知向量列an是以a1(1,3)为首项，
9、公差为d(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，则_.解析：易知an(1,3)(n1,0)(n,3)，因为向量an与非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，所以，所以.答案：三、解答题13(2018临川模拟)若数列bn对于任意的nN*，都有bn2bnd(常数)，则称数列bn是公差为d的准等差数列如数列cn则数列cn是公差为8的准等差数列设数列an满足a1a，对于nN*，都有anan12n.(1)求证：an是准等差数列；(2)求an的通项公式及前20项和S20.解析：(1)证明：anan12n(nN*)，an1an22(n1)(nN*)，得an2an2
10、(nN*)an是公差为2的准等差数列(2)a1a，anan12n(nN*)，a1a221，即a22a.其奇数项与偶数项都为等差数列，公差为2，当n为偶数时，an2a(1)2na；当n为奇数时，ana(1)2na1.ananan12n，S20(a1a2)(a3a4)(a19a20)2(1319)2200.14(2018孝感七校联盟)已知等差数列an的前n项和为Sn，nN*，且a23，S525.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，记数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn1.解析：(1)设等差数列an的公差为d.因为a23，S525，所以解得所以an2n1.(2)证明：由(1)知，an2n1，所以Snn2.所以bn.所以Tnb1b2b3bn(1)()()11.15已知数列an满足a1，an13an1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求证：og3an2n.解析：(1)由题可知an13(an)，又a1，所以a11，所以数列an是以1为首项，3为公比的等比数列所以an3n1，即an3n1.(2)证明：由(1)知an3n1，则log3a2 log3(3i1)2 log33i12(i1)，所以og3a2(012n1)2n2n.7