1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第5节 古典概型第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布最新考纲核心素养考情聚焦1.理解古典概型及其概率计算公式2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率1.简单的古典概型，增强数学建模、逻辑推理数学运算的素养2.古典概型的交汇问题，提升增强数学建模、逻辑推理数学运算的素养 预计 2020 年的高考有以下形式：古典概型将以概率为基础，常与排列组合相结合，以统计为实际背景考查1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型的定义、特点及计
2、算公式(1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型(2)特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个 基 本 事 件 出 现 的 可 能 性 相 等 计 算 公 式：P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数.思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能事件()(3)分别从 3 名男同学、4 名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同()(4)几
3、何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()答案：(1)(2)(3)(4)小题查验1(2019黄冈质检)一部 3 卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为 1,2,3 的概率是()A.16 B.13 C.12 D.23解析：B 3 卷文集随机排列，共有 6 种结果，卷号自左向右或自右向左恰为 1,2,3 的只有 2 种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为 1,2,3 的概率是2613.2(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 3
4、0723.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是()A.112 B.114C.115D.118解析：C 不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10个，随机选取两个数共有 C210种，其和等于 30 的数对有(7,23)，(11,19)，(13,17)，3 组，故所求概率为 p3C210345115.3甲在微信群中发布 6 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到 1 元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.34B.13C.310D.25解析：D 用
5、(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为 x 元、y 元、z 元乙、丙、丁三人抢完 6 元钱的所有不同的可能结果有 10 种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有 4 种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率 P 41025.4(2019福建市第一学期高三模拟考试)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同
6、一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是_解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为 a，b，c，则并排贴的情况有 abc，acb，bac，bca，cab，cba，共 6 种，其中 b，c 相邻的情况有 abc，acb，bca，cba，共 4 种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率 P4623.答案：235(2019贵阳市一模)某校选定 4 名教师去 3 个边远地区支教(每地至少 1 人)，则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是 _.解析：某校选定 4 名教师去 3 个边远地区支教(每地至少 1 人)，基本事件总数 nC24C12C11A22A3336，甲、乙两人在同一边远地区包含的基
7、本事件个数 m C22A336，甲、乙两人不在同一边远地区的概率是 P1mn 163656.答案：56 考点一 简单的古典概念(自主练透)题组集训1(2019包头市一模)某学生食堂规定，每份午餐可以在三种热菜中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种热菜相同的概率为()A.12 B.13 C.14 D.16解析：B 学生食堂规定，每份午餐可以在三种热菜中任选两种，甲、乙两同学各选两种热菜，基本事件总数 nC23C239，甲、乙两同学各自所选的两种热菜相同包含的基本事件个数 mC233，甲、乙两同学各自所选的两种热菜相同的概率为 Pmn 3913.故选 B.2(2019全国卷)生物实验室有 5 只
8、兔子，其中只有 3 只测量过某项指标若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为()A.23B.35 C.25D.15解析：B 测量过指标的兔子设为 A，B，C，没有测量过指标的兔子设为 E，F，随机取出 3 只有 ABC，ABE，ABF，AEF，BCE，BCF，BEF，CEF，ACE，ACF 共 10 种，则恰有 2 只测量过指标的有 ABE，ABF，BCE，BCF，ACE，ACF 共 6 种，其概率为 61035.3(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重
9、卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.1116解析：A 要求的概率为 PC36123123 516，故选 A.1求古典概型概率的步骤(1)读题，理解题意；(2)判断试验结果是否为等可能事件，设出所求事件 A；(3)分别求出基本事件总数 n 与所求事件 A 所包含的基本事件的个数 m；(4)利用公式 P(A)mn求出事件 A 的概率.提醒：在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，要注意它们是否是等可能的2求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解(2)先求其对立事件的概率，
10、再利用对立事件的概率公式求解(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，要保证计数的一致性，就是在计算基本事件数时，都按排列数求，或都按组合数求考点二 古典概型的交汇问题(多维探究)命题角度 1 古典概型与平面向量相结合 1(2019兰州市模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是 AC与 BD 的交点，P，Q，M，N 分别是线段 OA，OB，OC，OD 的中点在A，P，M，C 中任取一点记为 E，在 B，Q，N，D 中任取一点记为F.设 G 为满足向量OG OE OF 的点，则在上述的点 G 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为 _.解析：基本事件的
11、总数是 4416，在O G O E O F 中，当O GO P O Q，O G O P O N，O G O N O M，O G O M O Q 时，点 G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点 G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点 G 都在平行四边形外，故所求的概率是 141634.答案：34古典概型与平面向量交汇问题的处理方法(1)根据平面向量的知识进行坐标运算，得出事件满足的约束条件；(2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合的结果；(3)利用古典概型概率计算公式求解概率命题角度 2 古典概型与圆锥曲线相结合 2(2019洛阳市统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则
12、直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点的概率为 _.解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共 36 种，其中满足直线axby0 与圆(x2)2y22 有公共点，即满足2aa2b2 2，a2b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共 65432121 种，因此所求的概率等于2136 712.答案：712古典概型与圆锥曲线相结合的处理方法(1)首先根据圆锥曲线的相关性质，确定相关参数应满足的条件；(2)再根据相关参数满足的条件进行分类考虑，求出所有符合条件的基本事件个
13、数；(3)最后利用古典概型的概率计算公式求解概率命题角度 3 古典概型与函数相结合 3设 a2，4，b1，3，函数 f(x)12ax2bx1.(1)求 f(x)在区间，1 上是减函数的概率；(2)从满足条件的所有函数 f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1)处的切线互相平行的概率解：(1)f(x)axb，由题意 f(1)0，即 ba，而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足 ba 的有 3 种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数 f(x)共有 4 种可能，从中随机抽取两个，有 6种抽法函数 f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率为 f(1)ab，这两个
14、函数中的 a 与 b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这 1组满足，概率为16.古典概型与函数交汇问题的处理方法(1)首先根据函数的相关性质，确定相关系数应满足的条件；(2)再根据系数满足的条件进行分类考虑，求出所有符合条件的基本事件个数；(3)最后利用古典概型的概率计算公式求解概率命题角度 4 古典概型与统计相结合 4某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名作为样本，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人要从这 6 人中，随机选出 2 人参加一项技术比赛，选出的 2 人至少有 1 人为优秀工人的概率为 _.解析
15、：由已知得，样本均值为x2060307915622，所以优秀工人只有 2 人，所以所求概率为 PC26C24C26 91535.答案：355从某地高中男生中随机抽取 100 名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)由图中数据可知体重的平均值为 _ kg；若要从体重在60,70)，70,80)，80,90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取 12 人参加一项活动，再从这 12个人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为 _.解析：由频率分布直方图可知，体重在40,50)内的男生人数为0.005101005，同理，体重在50,60)，60,70)，70,80)，80,90内 的 人 数 分 别 为35,30,20,10，所 以 体 重 的 平 均 值 为455553565307520851010064.5.利用分层抽样的方法选取 12 人，则从体重在60,70)，70,80)，80,90三组内选取的人数分别为 1230606,1220604,1210602，则两人体重不在同一组内的概率为C16C16C14C18C12C110A21223.答案：64.5 23解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算