1、1了解点到平面的距离，会求点到平面的距离2会将棱柱、棱锥展开成平面图形，并能处理棱柱、棱锥表面上两点之间的最短距离等有关问题3掌握平面图形折叠的特点，弄清平面图形与折叠后空间图形元素间发生变化的对应关系，会处理有关折叠问题一、空间距离1两点间的距离：连接两点的_的长度2点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，_的长度3点到平面的距离：自点向平面引垂线，_的长度4求距离的基本步骤是：()找出或作出有关距离的图形；()证明它符合定义；()在平面图形内计算二、折叠问题1概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题2折叠问题分析求解
2、原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系_.三、展开问题将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空间图形展开转化为平面问题进行研究【要点指南】线段；点到垂足之间线段；点到垂足间线段；保持不变 1.关于折叠问题，下列说法正确的是(A)翻折前后同在一个平面内的几何元素的位置关系不变；翻折前后同在一个平面内的几何图形的度量结果不变；翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系可能变化；翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系肯定变化ABCD2.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为
3、 a，从顶点 A 经过正方体表面到顶点 C1 的最短距离是()A2 2aB.5aC(21)aD.3a【解析】利用立体几何的侧面展开图，将空间问题转化为平面问题：以为 BB1 为轴，将平面 ABA1B1 折到与 BCB1C1 共面的 ABA1B1 位置如图 AC1 的长即为所求最短距离，计算得 AC1 5a.所以选 B.3.在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB2，AA11，则点 A 到平面 A1BC 的距离为()A.34B.32C.3 34D.3【解析】取 BC 的中点 M，连接 AM、A1M，可证平面 A1AM平面 A1BC.作 AHA1M，垂足为 H，则 AH平面 A1BC.在 Rt
4、A1AM 中，AA11，AM 3，A1M2，故 AH 32.4.如图所示，在正三角形 ABC 中，D、E、F 分别为各边的中点，G、H、I、J 分别为 AF、AD、BE、DE 的中点，将ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 60.5.设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DEAB 于 E(如图)现将ADE 沿 DE 折起，使二面角 ADEB 为 45，此时点 A 在平面 BCDE内的射影恰为点 B，则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于 90.【解析】折叠后图形如图所示：易知AEB45，ABE90，所以 ABBE.取 AE 的中点 Q，连接
5、 MQ、BQ，因为 MQDE，MQ12DE，DEBC，DEBC，N 是 BC 的中点所以 MQBN，MQBN，所以 BQMN.因为 BQAE，所以 MNAE，即 M、N 连线与 AE 成 90角 一 点到平面的距离【例 1】如图，弧 AEC 是半径为 a 的半圆，AC 为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足 FC平面 BED，FB 5a.(1)证明：EBFD；(2)求点 B 到平面 FED 的距离【解析】(1)证明：因为点 E 为弧 AC 的中点所以ABE2，即 BEAC.又因为 FC平面 BED，BE平面 BED，所以F
6、CBE，又因为 FC、AC平面 FBD，FCACC，所以 BE平面 FBD，因为 FD平面 FBD，所以 EBFD.(2)FC BF2BC2 5a2a22a，SEBD12BEBD12a2aa2，在 RtFBE 中，FE BE2BF2 6a，取 EF 的中点 H，连接 DH，由于 FDED 5a，所以 SFDE12FEDH12 6a5a2 6a2 2 212 a2，由等体积法可知：13SEBDFC13SFDEh，即 a22a 212 a2hh4 2121 a.即点 B 到平面 FED 的距离为4 2121 a.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC2，ABBC13ADa，PA平面 ABCD
7、，且 PAa，点 F在 AD 上，且 CFPC.(1)求点 A 到平面 PCF 的距离；(2)求 AD 与平面 PBC 间的距离素材1【分析】(1)通过论证平面 PAC平面 PCF，找到点 A 在平面 PCF 上的射影 H 位于 PC 上，然后解三角形求 AH 的长(2)由于 AD平面 PBC，可考虑依据问题情境在 AD上选择具备特殊位置的点 A，然后推理过 A 点的平面PAD平面 PBC，找到过点 A 的垂线【解析】(1)连接 AC.因为 PA平面 ABCD，所以PACF.又 CFPC，PAPCP，所以 CF平面 PAC，所以平面 PFC平面 PAC.过点 A 作 AHPC 于 H，所以 A
8、H平面 PCF，即 AH 为点 A 到平面 PCF 的距离由已知 ABBCa，所以 AC 2a，PC 3a.在 RtPAC 中，得 AH 63 a.(2)因为 BCAD，BC平面 PBC，AD平面 PBC，所以 AD平面 PBC.过 A 作 AEPB 于 E，因为 PABC，ABC2，即 ABBC，又 PAABA，所以 BC平面 PAB.所以 AEBC，又 PBBCB，所以 AE平面 PBC，所以 AE 的长度即为所求的距离在等腰直角三角形 PAB 中，PAABa，所以 AE 22 a.二 图形的展开问题【例 2】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABBC 2，BB12，ABC90，E
9、、F 分别为 AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为_【分析】分类讨论，若把面 ABB1A1 和面 B1C1CB 展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度若把面 ABB1A1 和面 A1B1C1 展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度若把面 ACC1A1 和面 A1B1C1 展开在同一个面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度以上求出的 EF 的长度的最小值即为所求【解析】直三棱柱底面为等腰直角三角形，若把面 ABB1A1 和面 B1C1CB 展开在同一个平面内，线段 EF 就在直角三角形 A1EF 中，
10、由勾股定理得 EF A1E2A1F213 22 2 222.若把面 ABB1A1和面 A1B1C1展开在同一个平面内，设 BB1 的中点为 G，则线段 EF 就在直角三角形 EFG 中，由勾股定理得EF EG2GF221 22 2 144 22.若把面 ACC1A1 和面 A1B1C1 展开在同一个面内，过 F 作与 CC1 平行的直线，过 E 作与 AC 平行的直线，所作的两线交于点 H，则 EF 就在直角三角形 EFH 中，由勾股定理得EF EH2FH2342212123 22，综上，从 E 到 F 两点的最短路径的长度为3 22.【点评】图形的展开问题通常情况下是将空间问题转化到平面问题
11、来处理，本题中没有确说明是怎样展开的，故需要分类讨论 如图所示，在单位正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P，使得 APD1P 最短，则 APD1P 的最小值为()A2B.2 62C2 2D.2 2素材2【解析】如图，将A1AB 所在平面翻折到平面 A1AB，使得平面 A1AB 与平面 A1BCD1 重合在APD1 中，因为 PAPD1PAPD1AD1，所以 AD1 为 APD1P 的最小值 而AD21A1D21A1A22A1D1A1AcosAA1D1，故 AD211212211cos13522.所以 AD1 2 2.三 图形的折叠问题【例 3】(2011陕西卷)
12、如图，在ABC 中，ABC45，BAC90，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面 ADB平面 BDC；(2)设 BD1，求三棱锥 DABC 的表面积【分析】(1)确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；(2)充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算【解析】(1)因为折起前 AD 是 BC 边上的高，所以当ABD 折起后，ADDC，ADDB，又 DBDCD，所以 AD平面 BDC，又因为 AD平面 ADB.所以平面 ABD平面 BDC.(2)由(1)知，DADB，DB
13、DC，DCDA，因为 DBDADC1，所以 ABBCCA 2，SDABSDBCSDCA121112，SABC12 2 2sin60 32.所以三棱锥 DABC 的表面积是 S123 32 3 32.【点评】处理图形的折叠问题的关键是要抓住平面图形在折叠的过程中“变”与“不变”的关系 如图，四边形 ABCD 为矩形，AB3，BC1，EFBC，且 AE2EB，G 为 BC 的中点，K 为ADF 的外心，沿 EF 将矩形折成一个 120的二面角 AEFB，求此时 KG 的长素材3【解析】K 为 RtADF 的外心，所以 K 为 AF 的中点，取 EF 的中点为 H，连接 KH、HG、KG，则 KHE
14、F，HGEF，所以KHG 为二面角 AEFB 的平面角，即KHG120.又 KH12AE1，HG1，所以 KG 11211cos120 3，所以 KG 的长为 3.备选例题如图所示，等腰ABC 的底边 AB6 6，高 CD3，点 E 是线段 BD 上异于点 B，D 的动点，点 F 在 BC 边上，且 EFAB，现沿 EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使PEAE，记 BEx，V(x)表示四棱锥 PACFE 的体积(1)求 V(x)的表达式；(2)当 x 为何值时，V(x)取得最大值？(3)当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值【解析】(1)因为 EFAB，所以
15、EFPE.又因为 PEAE，EFAEE，所以 PE平面 ACFE.因为 EFAB，CDAB，且 CD，EF 共面，所以EFCD，所以EFCD xBDEFCDBDx x6.所以四边形 ACFE 的面积S 四边形 ACFESABCSBEF126 6312 16x29 6 12 6x2.所以四棱锥 PACFE 的体积VPACFE13S 四边形 ACFEPE3 6x 16 6x3.即 V(x)3 6x 16 6x3(0 x3 6)(2)由(1)知 V(x)3 6 12 6x2.令 V(x)0 x6.因为当 0 x0，当 6x3 6时，V(x)0.所以当 BEx6 时，V(x)有最大值，最大值为 V(6
16、)12 6.(3)过点 F 作 FGAC，交 AE 于点 G，连接 PG，则PFG 为异面直线 AC 与 PF 所成的角，因为ABC 是等腰三角形，所以GBF 也是等腰三角形于是 FGBFPF BE2EF2 42，从而 PG PE2GE2 BE2BE26 2.在GPF 中，根据余弦定理得cosPFGPF2FG2PG22PFFG17.故异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为17.1对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做求点到平面的距离也可以用等体积法2求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算其中第二步证明易被忽略，应当引起重视3在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵活一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法4将平面图形折叠，使形成立体图形，通过对折叠问题的研究进一步树立空间概念，提高空间想象能力5平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角(从而观察是否存在线面垂直)，然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段