1、第六章单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则等于()A2B2C. D答案A解析22()，2.故选A2已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线答案C解析ab(xx,1x2)(0,1x2)，易知ab平行于y轴3设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0答案B解析如图，根据向量加法的几何意义2P是AC的中点，故0.4设向量a(3，)，b为单位向量，且ab，则b()A(，)或(，)B(，
2、)C(，)D(，)或(，)答案D解析设b(x，y)，由ab可得3yx0，又x2y21，得b(，)或b(，)，故选D.5已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点，且|1，则等于()A. BC. D答案B解析11cos120.6复数等于()A1i B1iC1i D1i答案B7复数z的共轭复数是()A.i B.iC1i D1i答案B解析zi，i，故选B.8已知向量a(x1,2)，b(4，y)，若ab，则9x3y的最小值为()A2 B6C12 D3答案B解析ab，ab4(x1)2y0.2xy2.9x3y2269已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()
3、A0， B，C， D，答案B解析|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则|a|24ab0，设向量ab的夹角为，cos，10已知三点A(2,3)，B(1，1)，C(6，k)，其中k为常数若|，则与的夹角的余弦值为()A B0或C. D0或答案D解析由|解得k0或6，当k0时，与的夹角为，其余弦值为0；当k6时，与的夹角余弦值为11若O为平面内任一点且(2)()0，则ABC是()A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等腰三角形答案C解析由(2)()0得()()0，0，即|，ABAC.12平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标
4、表示及其运算可以推广到n(n3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，xn)表示设a(a1，a2，a3，a4，an)，b(b1，b2，b3，b4，bn)，规定向量a与b夹角的余弦为cos.已知n维向量a，b，当a(1,1,1,1，1)，b(1，1,1,1,1，1)时，cos等于()A. B.C. D.答案D解析ibi(n2)2n4.n，n.cos.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知a3i，则a_.答案23i14若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于x轴，b(2，1)，则a_.答案(1,1)或(3,1)解析设a(x，y)，b(2，1)，则
5、ab(x2，y1)，ab平行于x轴，y10，y1，故ab(x2,0)，又|ab|1，|x2|1，x1或x3，a(1,1)或a(3,1)15已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点，且|，其中O为坐标原点，则实数a的值为_答案2解析如图，作平行四边形OADB，则，|.又|，四边形OADB为正方形，易知|为直线在y轴上的截距大小，a2.验证a2时，成立16如图，正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点设(，R)，则的取值范围是_答案3,4解析当P与C或E重合时，AF2或2，3当P在直线EC上时，因E，P，C共线，所以3；当P与D重合时，22，4.故的范围是3,4三、解答题(本大题共
6、6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2010江苏卷，文)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解析(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.18(本小题满分12分)已知a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，求实数的取值范围解析a
7、与ab均不是零向量，夹角为锐角，a(ab)0,35，.当a与ab共线时，abma，即(1，2)m(1,2)，得0，即当0时，a与ab共线，0.故且0.小结由a与ab的夹角为锐角，可得a(ab)0，但由a(ab)0，并不能推得a与ab的夹角为锐角，如0时，a(ab)0，但此时夹角为0，所以a(ab)0仅是a与ab夹角为锐角的必要条件，而不是充分条件19(本小题满分12分)(2010盐城一模)已知向量a(sin，)，b(1，cos)，(，)(1)求ab，求；(2)求|ab|的最大值解析(1)因为ab，所以sincos0.得tan.又(，)，所以.(2)因为|ab|2(sin1)2(cos)254s
8、in()所以当时，|ab|2的最大值为549.故|ab|的最大值为320(本小题满分12分)已知向量a(，)，b(2，cos2x)(1)若x(0，试判断a与b能否平行？(2)若x(0，求函数f(x)ab的最小值解析(1)若a与b平行，则有cos2x2，因为x(0，sinx0，所以得cos2x2，这与|cos2x|1相矛盾，故a与b不能平行(2)由于f(x)ab2sinx，又因为x(0，所以sinx(0，于是2sinx22，当2sinx，即sinx时取等号故函数f(x)的最小值等于2.21(本小题满分12分)若a，b是两个不共线的非零向量，tR.(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(a
9、b)三向量的终点在一直线上？(2)若|a|b|且a与b夹角为60，t为何值时，|atb|的值最小？解(1)设atbma(ab)，mR，化简得(m1)a(t)b，a与b不共线，t时，a，tb，(ab)的终点在一直线上(2)|atb|2(atb)2|a|2t2|b|22t|a|b|cos60(1t2t)|a|2.当t时，|atb|有最小值|a|.22(本小题满分12分)在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2ac)cosBbcosC.(1)求B的大小(2)设m(sinA，cos2A)，n(4k,1)(k1)，且mn的最大值是5，求k的值解析(1)(2ac)cosBbcosC，(2sinAsinC)cosBsinBcosC，即2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin(BC)ABC，2sinAcosBsinA.0A，sinA0，cosB.0B1，t1时，mn取最大值依题意得(mn)max24k15，k.